Dada a série de potências f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot 3 n}{2^{n}}(x-1)^{n-1}, determine: (1,4 \mathrm{pts})
a) o intervalo de convergência de f(x);
b) valor de \int_{0}^{2} f(x) d x utilizando os 5 primeiros termos, isto é, fazendo k variar de 1 a 5 .

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,3n}{2^{n}}\,(x-1)^{n-1}
centrada em x=1, e pede:
  1. o intervalo de convergência de f(x);
  2. o valor aproximado de \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx usando os 5 primeiros termos (isto é, n=1 a 5).
    Para resolver usamos o teste da razão para séries de potências e integração termo a termo da soma parcial.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, escrevemos em função de t=x-1 a soma
f(x)=\sum_{m=0}^{\infty}c_{m}\,t^{m},
onde m=n-1 e
c_{m}=\frac{(-1)^{m+1}\,3(m+1)}{2^{m+1}}.
O teste da razão diz que a série converge se
\lim_{m\to\infty}\left|\frac{c_{m+1}}{c_{m}}\right|<1.
Calculando,
\left|\frac{c_{m+1}}{c_{m}}\right| =\frac{\tfrac{3(m+2)}{2^{m+2}}}{\tfrac{3(m+1)}{2^{m+1}}} =\frac{m+2}{m+1}\cdot\frac12 \;\xrightarrow[m\to\infty]{}\;\frac12.
Logo o raio de convergência é R=2.

Passo 3

A condição de convergência é \lvert x-1\rvert<2, ou seja
-1<x<3.
Nos extremos x=-1 e x=3 o termo geral não vai a zero, portanto a série diverge. Concluímos que o intervalo de convergência é
(-1,\,3).

Passo 4

Para aproximar
\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx
usamos a soma parcial de ordem 5:
S_{5}(x)=\sum_{n=1}^{5}\frac{(-1)^{n}\,3n}{2^{n}}\,(x-1)^{n-1}.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{2}S_{5}(x)\,dx =\sum_{n=1}^{5}\frac{(-1)^{n}\,3n}{2^{n}} \int_{0}^{2}(x-1)^{n-1}\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral de (x-1)^{n-1}:
\int_{0}^{2}(x-1)^{n-1}\,dx =\left[\frac{(x-1)^{n}}{n}\right]_{0}^{2} =\frac{1-(-1)^{n}}{n}.
Multiplicando pelo coeficiente obtemos cada termo da soma:
\frac{(-1)^{n}\,3n}{2^{n}}\cdot\frac{1-(-1)^{n}}{n} =\frac{3(-1)^{n}}{2^{n}}\bigl(1-(-1)^{n}\bigr).

Passo 6

Para n=1 a 5 cada termo vale
n=1:\;-3,\quad n=2:\;0,\quad n=3:\;-{\tfrac{3}{4}},\quad n=4:\;0,\quad n=5:\;-{\tfrac{3}{16}}.
Somando:
-3+0-\tfrac{3}{4}+0-\tfrac{3}{16} =-\frac{63}{16}\approx-3{,}9375.

Resposta

(a) O intervalo de convergência é (-1,\,3).
(b) A aproximação de \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\,dx com 5 termos é -\tfrac{63}{16}\approx -3{,}9375.

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