Determinar a solução geral da equação y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+6 y=0. ( 1,0 pts)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 6y = 0.
O conteúdo necessário é a técnica da equação característica: montar r^2 - 4r + 6 = 0, encontrar suas raízes e usar a forma da solução associada a raízes complexas.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y=e^{r x}, o que leva a
r^2 - 4r + 6 = 0.

Passo 3

Calculamos o discriminante
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot6 = 16 - 24 = -8 < 0.
Como \Delta<0, teremos raízes complexas conjugadas.

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara para r^2-4r+6=0, obtemos
r = \frac{4 \pm \sqrt{-8}}{2} = 2 \pm i\sqrt{2}.
Aqui \alpha = 2 e \beta = \sqrt{2}.

Passo 5

Para raízes \alpha \pm i\beta, a solução geral real é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr).
Substituindo \alpha=2 e \beta=\sqrt{2}, temos:

Resposta

y(x) = e^{2x}\bigl(C_1\cos(\sqrt{2}\,x) + C_2\sin(\sqrt{2}\,x)\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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