1. Em uma dada situação foi necessário calcular y=\frac{4 x}{\left(3-2 x^{2}\right)^{2}} em x=1.22. Foram utilizados dois métodos diferentes, em que o primeiro considerou dois dígitos significativos e o segundo com oito dígitos. Dessa forma:
\begin{array}{r} \left(3-2 \times 1.22^{2}\right)^{2}=(0.02)^{2}=0.0004 \\\ y=\frac{4 \times 1.22}{0.0004}=\frac{4.88}{0.0004}=12200.0000 \end{array}
\begin{array}{r} \left(3-2 \times 1.22^{2}\right)^{2}=(0.0232)^{2}=0.00053824 \\\ y=\frac{4 \times 1.22}{0.00053824}=\frac{4.88}{0.00053824}=9070.0887 \end{array}
(a) Os cálculos estão corretos? Justifique.
(b) Avalie e discuta os resultados acima considerando se a perda de dígitos é significativa.
(c) Proponha uma outra y e outro x de forma que a perda de dígitos seja muito significativa e justifique sua escolha.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a função
y=\frac{4x}{\left(3-2x^{2}\right)^{2}}
avaliada em x=1{,}22.
  • O enunciado mostra dois cálculos distintos:
    • Cálculo A (com “dois dígitos significativos”) que usa (3-2x^{2})\approx 0{,}02 e obtém y=12200{,}0000.
    • Cálculo B (com oito dígitos) que usa (3-2x^{2})\approx 0{,}0232 e obtém y=9070{,}0887.
  • Perguntas:
    (a) Os cálculos estão corretos? Justifique.
    (b) Avaliar e discutir se a perda de dígitos é significativa.
    (c) Propor outra escolha de y e x para que a perda de dígitos seja muito significativa e justificar a escolha.

Passo 2

Calcular exatamente (ou com precisão suficiente) os termos básicos para x=1{,}22.
  • Primeiro calcule x^{2}:
x^{2} = 1{,}22^{2} = 1{,}4884.
  • Agora calcule 3-2x^{2}:
3-2x^{2} = 3 - 2\cdot 1{,}4884 = 3 - 2{,}9768 = 0{,}0232.
Observação importante: o resultado exato (com os dígitos dados) é 0{,}0232. Note que os zeros à esquerda não contam como dígitos significativos — os dígitos significativos são os algarismos não nulos a partir do primeiro não-zero (aqui “232”).
  • Quadrado deste valor:
(3-2x^{2})^{2} = 0{,}0232^{2} = 0{,}00053824.
  • Numerador:
4x = 4\cdot 1{,}22 = 4{,}88.
  • Portanto o valor “verdadeiro” (com a precisão dos dados fornecidos) é
y = \frac{4{,}88}{0{,}00053824} \approx 9070{,}0887.
Isto coincide com o cálculo B apresentado no enunciado.

Passo 3

Verificar o cálculo A (o que usou (0{,}02)^{2}=0{,}0004) e discutir arredondamento a dois dígitos significativos.
  • Regra de dígitos significativos: para o número 0{,}0232, os dígitos significativos são os algarismos “2”,“3”,“2”. Arredondar para dois dígitos significativos significa manter os dois primeiros algarismos não nulos: 0{,}0232 arredondado a dois dígitos significativos é 0{,}023 (não 0{,}02). Portanto a substituição direta por 0{,}02 é um arredondamento incorreto se a intenção era manter dois dígitos significativos.
  • Se fizermos corretamente o arredondamento a dois dígitos significativos:
(3-2x^{2}) \approx 0{,}023.
Então
(0{,}023)^{2} = 0{,}000529, \qquad y \approx \frac{4{,}88}{0{,}000529}\approx 9224{,}951.
  • Comparando:
    • Arredondamento incorreto usado no enunciado (0{,}02) dá y=12200.
    • Arredondamento correto a dois dígitos significativos (0{,}023) dá y\approx 9224{,}951.
    • Valor “preciso” com os dígitos dados (usando 0{,}0232) dá y\approx 9070{,}0887.
  • Conclusão imediata: o cálculo A do enunciado (que resultou em 12200) está errado porque assumiu (3-2x^2)\approx 0{,}02 quando, seguindo a definição de dois dígitos significativos, o correto seria 0{,}023. O cálculo B está correto (foi feito sem truncar aquele passo crítico).

Passo 4

Análise de propagação de erros e por que a perda de dígitos aqui é relevante (explicação didática).
  • Fenômeno chave: subtrair dois números quase iguais (aqui 3 e 2x^{2}) produz um resultado pequeno; isso é chamado de cancelamento (ou cancelamento catastrófico quando as consequências são graves). Quando esse resultado pequeno é usado em operações não-lineares (aqui ele é elevado ao quadrado e então usado no denominador), pequenos erros relativos na diferença são amplificados.
  • Modelo linearizado de propagação de erro: se o valor exato do denominador for d e sua aproximação \tilde d = d(1+\epsilon) (ou seja, erro relativo \epsilon), então
\tilde d^{2} = d^{2}(1+\epsilon)^{2} \approx d^{2}(1+2\epsilon)
para |\epsilon|\ll 1. Assim o erro relativo em d^{2} é aproximadamente 2\epsilon. Como y = N/d^{2} com N (o numerador) bem determinado, o erro relativo em y será aproximadamente 2\epsilon (com sinal oposto).
  • Aplicando aos números:
    • Tomando d=0{,}0232.
    • Se alguém usa \tilde d=0{,}02, o erro relativo é
    \epsilon=\frac{0{,}02-0{,}0232}{0{,}0232}\approx -0{,}13793\quad(\text{ou }-13{,}79\%).
    • A primeira aproximação prevê um erro relativo em y aproximadamente 2\epsilon\approx -27{,}6\%. Na prática o resultado numérico mostra um desvio ainda maior (o cálculo incorreto deu 12200 contra 9070, diferença relativa de cerca de 34{,}5\%), porque usamos um arredondamento grosseiro e a relação não-linear intensifica a discrepância.
    • Se, em vez disso, arredondarmos corretamente para dois dígitos significativos ( \tilde d=0{,}023), então
    \epsilon=\frac{0{,}023-0{,}0232}{0{,}0232}\approx -0{,}0086207\quad(\text{ou }-0{,}862\%),
    e o erro relativo em y esperado é cerca de 2\epsilon\approx -1{,}724\%, consistente com os números: y\approx 9224{,}951 vs 9070{,}089 (diferença relativa \approx 1{,}7\%).
  • Interpretação prática: quando o denominador é pequeno (resultado de cancelamento), uma pequena imprecisão em d vira um erro bem maior em y. Por isso é uma situação numericamente instável/severamente mal condicionada em torno desse x.

Passo 5

Consequências práticas e recomendações (o que fazer numa prova ou em cálculo numérico).
  • Conclusões:
    • O cálculo B (usando 0{,}0232) é o correto dado os dados do problema.
    • O cálculo A, do enunciado, está errado porque houve um arredondamento incorreto para 0{,}02; se fosse feito corretamente com dois dígitos significativos (isto é, 0{,}023) o erro seria muito menor.
  • Recomendações para evitar esse tipo de perda de dígitos:
    1. Evitar arredondar cedo: mantenha mais dígitos até o final (ou use precisão dupla). Arredondamentos intermediários em subtrações de valores próximos são perigosos.
    2. Se possível, reescrever a expressão para evitar subtrações de números próximos (às vezes existe uma identidade algébrica que evita cancelamento). Aqui, para essa função específica não há uma fatoração simples que elimine a subtração pequena, então o recurso prático é aumentar a precisão.
    3. Se estiver implementando numericamente, usar aritmética de ponto flutuante com precisão adequada (por exemplo double) e só arredondar o resultado final.
    4. Fazer análise de sensibilidade/condicionamento: calcule d=3-2x^{2} e veja se |d| é muito pequeno; nesse caso espere amplificação de erros.

Passo 6

Resposta à parte (c): proposta de outro y e x em que a perda de dígitos é muito significativa e justificação.
  • Proposta simples (mantendo a mesma estrutura, para mostrar o mesmo fenômeno de forma extrema):
y=\frac{4x}{(3-2x^{2})^{2}},\qquad x=\sqrt{\frac{3-10^{-7}}{2}}.
Justificação:
  • Escolhendo x assim temos exatamente 3-2x^{2}=10^{-7}, um número muito pequeno. Então
y=\frac{4x}{(10^{-7})^{2}}=\frac{4x}{10^{-14}}\sim 4x\cdot 10^{14},
ou seja, y é da ordem 10^{14} (muito grande). Se alguém, por imprudência, arredondar 3-2x^{2} para zero ou para um valor com menos precisão (por exemplo para 10^{-6} ou para 0), o valor de y mudará milhares ou milhões de vezes — isto é perda/erro de dígitos extremamente significativa. Assim esse exemplo ilustra de forma clara o perigo do cancelamento e da amplificação de erros quando o denominador é muito pequeno.
  • Alternativa clássica (outro y que exemplifica cancelamento): usar
y=\frac{1-\cos x}{x^{2}}
avaliado em x=10^{-4} (ou menor). Aqui 1 e \cos x são muito próximos quando x é pequeno; subtrair dois números quase iguais causa perda de dígitos e o valor real tende a 1/2 quando x\to 0. Se calcular \cos x com precisão limitada e subtrair, obtém-se erro grande relativo. Este é um exemplo pedagógico muito usado para mostrar cancelamento catastrófico.

Resposta

(a) Não — o primeiro cálculo está incorreto porque arredondou indevidamente 0{,}0232 para 0{,}02 (o correto, a dois dígitos significativos, seria 0{,}023). O segundo cálculo está correto: y\approx 9070{,}0887.
(b) Sim — a perda de dígitos é significativa: arredondar mal a diferença pequena 3-2x^{2} causa grande erro em y (a relativa em y é aproximadamente o dobro da relativa em 3-2x^{2}). Arredondamento correto a dois dígitos dá y\approx 9224{,}95 (erro \approx1{,}7\%), enquanto o arredondamento usado no enunciado deu 12200 (erro \approx34{,}5\%).
(c) Por exemplo, manter a mesma fórmula e escolher x=\sqrt{(3-10^{-7})/2} (logo 3-2x^{2}=10^{-7}) produz y da ordem de 10^{14}; qualquer arredondamento grosseiro em 3-2x^{2} levará a erro catastrófico. Outra escolha clássica que mostra cancelamento é y=(1-\cos x)/x^{2} em x=10^{-4}.

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