- Em uma dada situação foi necessário calcular
em
. Foram utilizados dois métodos diferentes, em que o primeiro considerou dois dígitos significativos e o segundo com oito dígitos. Dessa forma:
(a) Os cálculos estão corretos? Justifique.
(b) Avalie e discuta os resultados acima considerando se a perda de dígitos é significativa.
(c) Proponha uma outra
e outro
de forma que a perda de dígitos seja muito significativa e justifique sua escolha.
(b) Avalie e discuta os resultados acima considerando se a perda de dígitos é significativa.
(c) Proponha uma outra
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a função
avaliada em
.
-
O enunciado mostra dois cálculos distintos:
- Cálculo A (com “dois dígitos significativos”) que usa
e obtém . - Cálculo B (com oito dígitos) que usa
e obtém .
- Cálculo A (com “dois dígitos significativos”) que usa
-
Perguntas:
(a) Os cálculos estão corretos? Justifique.
(b) Avaliar e discutir se a perda de dígitos é significativa.
(c) Propor outra escolha dee para que a perda de dígitos seja muito significativa e justificar a escolha.
Passo 2
Calcular exatamente (ou com precisão suficiente) os termos básicos para
.
- Primeiro calcule
:
- Agora calcule
:
Observação importante: o resultado exato (com os dígitos dados) é
. Note que os zeros à esquerda não contam como dígitos significativos — os dígitos significativos são os algarismos não nulos a partir do primeiro não-zero (aqui “232”).
- Quadrado deste valor:
- Numerador:
- Portanto o valor “verdadeiro” (com a precisão dos dados fornecidos) é
Isto coincide com o cálculo B apresentado no enunciado.
Passo 3
Verificar o cálculo A (o que usou
) e discutir arredondamento a dois dígitos significativos.
-
Regra de dígitos significativos: para o número
, os dígitos significativos são os algarismos “2”,“3”,“2”. Arredondar para dois dígitos significativos significa manter os dois primeiros algarismos não nulos: arredondado a dois dígitos significativos é (não ). Portanto a substituição direta por é um arredondamento incorreto se a intenção era manter dois dígitos significativos. -
Se fizermos corretamente o arredondamento a dois dígitos significativos:
Então
-
Comparando:
- Arredondamento incorreto usado no enunciado (0{,}02) dá
. - Arredondamento correto a dois dígitos significativos (0{,}023) dá
. - Valor “preciso” com os dígitos dados (usando
) dá .
- Arredondamento incorreto usado no enunciado (0{,}02) dá
-
Conclusão imediata: o cálculo A do enunciado (que resultou em
) está errado porque assumiu quando, seguindo a definição de dois dígitos significativos, o correto seria . O cálculo B está correto (foi feito sem truncar aquele passo crítico).
Passo 4
Análise de propagação de erros e por que a perda de dígitos aqui é relevante (explicação didática).
-
Fenômeno chave: subtrair dois números quase iguais (aqui
e ) produz um resultado pequeno; isso é chamado de cancelamento (ou cancelamento catastrófico quando as consequências são graves). Quando esse resultado pequeno é usado em operações não-lineares (aqui ele é elevado ao quadrado e então usado no denominador), pequenos erros relativos na diferença são amplificados. -
Modelo linearizado de propagação de erro: se o valor exato do denominador for
e sua aproximação (ou seja, erro relativo ), então
para
. Assim o erro relativo em
é aproximadamente
. Como
com
(o numerador) bem determinado, o erro relativo em
será aproximadamente
(com sinal oposto).
-
Aplicando aos números:
- Tomando
. - Se alguém usa
, o erro relativo é
-
A primeira aproximação prevê um erro relativo em
aproximadamente . Na prática o resultado numérico mostra um desvio ainda maior (o cálculo incorreto deu contra , diferença relativa de cerca de ), porque usamos um arredondamento grosseiro e a relação não-linear intensifica a discrepância. -
Se, em vez disso, arredondarmos corretamente para dois dígitos significativos (
), então
e o erro relativo emesperado é cerca de , consistente com os números: vs (diferença relativa ). - Tomando
-
Interpretação prática: quando o denominador é pequeno (resultado de cancelamento), uma pequena imprecisão em
vira um erro bem maior em . Por isso é uma situação numericamente instável/severamente mal condicionada em torno desse .
Passo 5
Consequências práticas e recomendações (o que fazer numa prova ou em cálculo numérico).
-
Conclusões:
- O cálculo B (usando
) é o correto dado os dados do problema. - O cálculo A, do enunciado, está errado porque houve um arredondamento incorreto para
; se fosse feito corretamente com dois dígitos significativos (isto é, ) o erro seria muito menor.
- O cálculo B (usando
-
Recomendações para evitar esse tipo de perda de dígitos:
- Evitar arredondar cedo: mantenha mais dígitos até o final (ou use precisão dupla). Arredondamentos intermediários em subtrações de valores próximos são perigosos.
- Se possível, reescrever a expressão para evitar subtrações de números próximos (às vezes existe uma identidade algébrica que evita cancelamento). Aqui, para essa função específica não há uma fatoração simples que elimine a subtração pequena, então o recurso prático é aumentar a precisão.
- Se estiver implementando numericamente, usar aritmética de ponto flutuante com precisão adequada (por exemplo double) e só arredondar o resultado final.
- Fazer análise de sensibilidade/condicionamento: calcule
e veja se é muito pequeno; nesse caso espere amplificação de erros.
Passo 6
Resposta à parte (c): proposta de outro
e
em que a perda de dígitos é muito significativa e justificação.
- Proposta simples (mantendo a mesma estrutura, para mostrar o mesmo fenômeno de forma extrema):
Justificação:
- Escolhendo
assim temos exatamente , um número muito pequeno. Então
ou seja,
é da ordem
(muito grande). Se alguém, por imprudência, arredondar
para zero ou para um valor com menos precisão (por exemplo para
ou para
), o valor de
mudará milhares ou milhões de vezes — isto é perda/erro de dígitos extremamente significativa. Assim esse exemplo ilustra de forma clara o perigo do cancelamento e da amplificação de erros quando o denominador é muito pequeno.
- Alternativa clássica (outro
que exemplifica cancelamento): usar
avaliado em
(ou menor). Aqui
e
são muito próximos quando
é pequeno; subtrair dois números quase iguais causa perda de dígitos e o valor real tende a
quando
. Se calcular
com precisão limitada e subtrair, obtém-se erro grande relativo. Este é um exemplo pedagógico muito usado para mostrar cancelamento catastrófico.
Resposta
(a) Não — o primeiro cálculo está incorreto porque arredondou indevidamente
para
(o correto, a dois dígitos significativos, seria
). O segundo cálculo está correto:
.
(b) Sim — a perda de dígitos é significativa: arredondar mal a diferença pequena causa grande erro em
(a relativa em
é aproximadamente o dobro da relativa em
). Arredondamento correto a dois dígitos dá
(erro
), enquanto o arredondamento usado no enunciado deu
(erro
).
(c) Por exemplo, manter a mesma fórmula e escolher (logo
) produz
da ordem de
; qualquer arredondamento grosseiro em
levará a erro catastrófico. Outra escolha clássica que mostra cancelamento é
em
.
(b) Sim — a perda de dígitos é significativa: arredondar mal a diferença pequena
(c) Por exemplo, manter a mesma fórmula e escolher