Seja a equação
e utilizando uma calculadora científica (virtual ou física) com a máxima precisão:
(a) Calcule
quando
.
(b) O que podemos dizer sobre a perda de dígitos significativos?
(a) Calcule
(b) O que podemos dizer sobre a perda de dígitos significativos?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) calcular
quando ; - (b) analisar o que acontece com os dígitos significativos (se há perda e por quê).
Informações relevantes que temos:
-
. - Logo
. - A expressão original envolve a subtração de dois números próximos:
e . Isso já indica potencial cancelamento numérico.
Passo 2
Primeira tentativa direta (o que um cálculo “ingênuo” faria):
Calcular com
e então subtrair
.
Calcular
- Escrevendo
. - A tentativa direta é
.
Mas antes de usar a calculadora, vamos ver o tamanho do resultado esperado usando uma expansão em série (isso nos ajuda a entender a escala de
).
Passo 3
Expansão em série (fórmula de Taylor) para
quando
é pequeno:
Subtraindo
,
Agora substituindo
:
ou seja, o termo dominante é
e a correção é absurdamente pequena (
). Portanto o valor “verdadeiro” de
é
Passo 4
Problema de cancelamento na forma original:
- Em aritmética de ponto flutuante padrão (IEEE double), a unidade de máquina relativa é aproximadamente
. - Aqui
é muito menor que . Assim, é numericamente arredondado para em aritmética de precisão dupla; consequentemente também será computado como . Então a subtração dá na prática — perda total dos dígitos significativos do resultado. - Conclusão: calcular diretamente
em uma calculadora típica (dupla precisão) dará , que é totalmente errado em relação ao valor real .
Passo 5
Jeito numericamente estável (truque algébrico):
Racionalize a expressão para evitar a subtração de dois números próximos:
Racionalize a expressão para evitar a subtração de dois números próximos:
Portanto, para
(ou
) use
Nesta forma o denominador é aproximadamente
, e não há subtração de números quase iguais — isso evita o cancelamento.
Passo 6
Avaliação numérica com a forma estável:
- Aproximação de alta precisão usando a série já mostra que o resultado é praticamente
(a correção é da ordem , desprezível). - Se calcular com uma calculadora que efectivamente usa dupla precisão, a forma racionalizada dá:
(Se a calculadora tiver aritmética de precisão maior, o valor obtido será idêntico até os dígitos mostrados; a diferença real é menor que
.)
Passo 7
Interpretação sobre perda de dígitos significativos:
- Na forma original ocorre cancellation (subtração de números muito próximos). Como
, o termo desaparece no arredondamento de => calcula-se numericamente e obtém-se . Isso significa perda completa dos dígitos significativos do resultado (o valor real é mas a máquina retorna ). - Solução prática: usar a forma racionalizada
sempre que for muito pequeno, ou usar aritmética de precisão estendida (multi-precisão). Assim evita-se cancelamento e preservam-se os dígitos significativos.
Resposta
(a)
(b) A avaliação direta de sofre perda severa de dígitos por cancelamento: em dupla precisão típica
arredonda para
e a subtração dá
. Usar a forma racionalizada
evita essa perda.
(b) A avaliação direta de