Seja a equação y=\sqrt{x^{3}+1}-1 e utilizando uma calculadora científica (virtual ou física) com a máxima precisão:
(a) Calcule y quando x=10^{-6}.
(b) O que podemos dizer sobre a perda de dígitos significativos?

Passo 1

O enunciado dá a função y=\sqrt{x^{3}+1}-1 e pede duas coisas:
  • (a) calcular y quando x=10^{-6};
  • (b) analisar o que acontece com os dígitos significativos (se há perda e por quê).
Informações relevantes que temos:
  • x=10^{-6}.
  • Logo x^{3}=(10^{-6})^{3}=10^{-18}.
  • A expressão original envolve a subtração de dois números próximos: \sqrt{1+x^{3}} e 1. Isso já indica potencial cancelamento numérico.

Passo 2

Primeira tentativa direta (o que um cálculo “ingênuo” faria):
Calcular \sqrt{1+x^{3}} com x^{3}=10^{-18} e então subtrair 1.
  • Escrevendo \varepsilon = x^{3} = 10^{-18}.
  • A tentativa direta é y_{\text{naive}}=\sqrt{1+\varepsilon}-1.
Mas antes de usar a calculadora, vamos ver o tamanho do resultado esperado usando uma expansão em série (isso nos ajuda a entender a escala de y).

Passo 3

Expansão em série (fórmula de Taylor) para \sqrt{1+\varepsilon} quando \varepsilon é pequeno:
\sqrt{1+\varepsilon}=1+\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon^{2}}{8}+\mathcal{O}(\varepsilon^{3}).
Subtraindo 1,
y=\sqrt{1+\varepsilon}-1=\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon^{2}}{8}+\mathcal{O}(\varepsilon^{3}).
Agora substituindo \varepsilon=10^{-18}:
\frac{\varepsilon}{2}=\frac{10^{-18}}{2}=5\times10^{-19}, \qquad \frac{\varepsilon^{2}}{8}=\frac{10^{-36}}{8}=1{,}25\times10^{-37},
ou seja, o termo dominante é 5\times10^{-19} e a correção é absurdamente pequena ( \sim10^{-37}). Portanto o valor “verdadeiro” de y é
y\approx 5\times10^{-19}.

Passo 4

Problema de cancelamento na forma original:
  • Em aritmética de ponto flutuante padrão (IEEE double), a unidade de máquina relativa é aproximadamente \text{eps}=2^{-52}\approx2,22\times10^{-16}.
  • Aqui \varepsilon=10^{-18} é muito menor que \text{eps}. Assim, 1+\varepsilon é numericamente arredondado para 1 em aritmética de precisão dupla; consequentemente \sqrt{1+\varepsilon} também será computado como 1. Então a subtração \sqrt{1+\varepsilon}-1 0 na prática — perda total dos dígitos significativos do resultado.
  • Conclusão: calcular diretamente \sqrt{1+x^{3}}-1 em uma calculadora típica (dupla precisão) dará 0, que é totalmente errado em relação ao valor real 5\times10^{-19}.

Passo 5

Jeito numericamente estável (truque algébrico):
Racionalize a expressão para evitar a subtração de dois números próximos:
\sqrt{1+\varepsilon}-1=\frac{(\sqrt{1+\varepsilon}-1)(\sqrt{1+\varepsilon}+1)}{\sqrt{1+\varepsilon}+1} =\frac{(1+\varepsilon)-1}{\sqrt{1+\varepsilon}+1} =\frac{\varepsilon}{\sqrt{1+\varepsilon}+1}.
Portanto, para x=10^{-6} (ou \varepsilon=10^{-18}) use
y=\frac{10^{-18}}{\sqrt{1+10^{-18}}+1}.
Nesta forma o denominador é aproximadamente 2, e não há subtração de números quase iguais — isso evita o cancelamento.

Passo 6

Avaliação numérica com a forma estável:
  • Aproximação de alta precisão usando a série já mostra que o resultado é praticamente \dfrac{10^{-18}}{2}=5\times10^{-19} (a correção é da ordem 10^{-37}, desprezível).
  • Se calcular com uma calculadora que efectivamente usa dupla precisão, a forma racionalizada dá:
y \approx \frac{10^{-18}}{2}=5\times10^{-19}.
(Se a calculadora tiver aritmética de precisão maior, o valor obtido será idêntico até os dígitos mostrados; a diferença real é menor que 10^{-36}.)

Passo 7

Interpretação sobre perda de dígitos significativos:
  • Na forma original ocorre cancellation (subtração de números muito próximos). Como \varepsilon=10^{-18}\ll\text{eps}\approx2,22\times10^{-16}, o termo \varepsilon desaparece no arredondamento de 1+\varepsilon => calcula-se \sqrt{1+\varepsilon}=1 numericamente e obtém-se y=0. Isso significa perda completa dos dígitos significativos do resultado (o valor real é \sim5\times10^{-19} mas a máquina retorna 0).
  • Solução prática: usar a forma racionalizada \dfrac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{3}}+1} sempre que x^{3} for muito pequeno, ou usar aritmética de precisão estendida (multi-precisão). Assim evita-se cancelamento e preservam-se os dígitos significativos.

Resposta

(a) y\approx 5\times10^{-19}
(b) A avaliação direta de \sqrt{1+x^{3}}-1 sofre perda severa de dígitos por cancelamento: em dupla precisão típica \sqrt{1+10^{-18}} arredonda para 1 e a subtração dá 0. Usar a forma racionalizada \dfrac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{3}}+1} evita essa perda.

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