1. Em três situações, foi necessário calcular y=e^{-10000} com diferentes números de dígitos significativos. Três pessoas (Pn) realizaram os cálculos e, cada uma, afirmou que:
P1. Com quinze dígitos significativos o resultado exato é 4.539992976248485 \times 10^{-4350}.
P2. Com vinte dígitos significativos o resultado aproximado é 4.5399929762484858684 \times 10^{-4350}.
P3. Com cinco dígitos significativos o resultado é 4.5400 \times 10^{-4350}. Acredito não ser exato, uma vez que o erro relativo é de, aproximadamente, 1.911 \times 10^{-16}.
Julgue as afirmações das pessoas em verdadeiro ou falso, justificando por meio de cálculos e/ou elementos teóricos. Determine a precisão de máquina { }^{1}.

  1. { }^{1} É a quantidade de dígitos significativos que um sistema digital pode representar numericamente. Por exemplo, em um sistema de precisão de máquina de 32 bits, a precisão numérica pode ser limitada a cerca de 7 dígitos significativos, enquanto em sistemas de 64 bits, a precisão pode ser estendida para cerca de 15 a 16 dígitos significativos.

Passo 1

O enunciado pede que se julguem como verdadeiro ou falso três afirmações sobre o valor de y=e^{-10000}, justificando por cálculos e teoria, e que se determine a precisão de máquina. As informações dadas são:
  • P1 afirma: "Com quinze dígitos significativos o resultado exato é \;4.539992976248485\times10^{-4350}."
  • P2 afirma: "Com vinte dígitos significativos o resultado aproximado é \;4.5399929762484858684\times10^{-4350}."
  • P3 afirma: “Com cinco dígitos significativos o resultado é \;4.5400\times10^{-4350}. Acredito não ser exato, pois o erro relativo é aproximadamente 1{,}911\times10^{-16}.”
O que é pedido:
  • Determinar se cada afirmação (P1, P2, P3) é verdadeira ou falsa e justificar.
  • Determinar a precisão de máquina (número de dígitos significativos que um sistema típico representa).
Itens que usarei nos cálculos:
  • Conversão entre exponencial natural e notação decimal: para y=e^{-10000} vale
\log_{10}(y) = -10000\log_{10}(e).
  • Para escrever y em notação científica y = m\times10^{\alpha} com 1\le m <10 e \alpha\in\mathbb{Z}, calculo \alpha = \lfloor \log_{10}(y)\rfloor e m=10^{\log_{10}(y)-\alpha}.
  • Definição de erro relativo: para aproximação \tilde y,
\text{erro relativo}=\frac{| \tilde y - y|}{|y|}.
  • Informação típica: precisão de máquina da aritmética dupla (IEEE 64 bits) tem \varepsilon_{\text{mach}}=2^{-52}\approx2{,}220446049250313\times10^{-16}, o que corresponde a cerca de 15 a 16 dígitos decimais.

Passo 2

Calcular a ordem de grandeza e a notação científica correta de y=e^{-10000}.
  1. Calcular \log_{10}(y). Usando \log_{10}(e)\approx0{,}43429448190325182765,
\log_{10}(y) = -10000\log_{10}(e)\approx -10000\times0{,}43429448190325182765 = -4342{,}9448190325182765.
  1. Determinar o expoente inteiro \alpha para a notação científica:
\alpha = \lfloor \log_{10}(y)\rfloor = \lfloor -4342{,}944819\ldots\rfloor = -4343.
  1. Calcular a mantissa m:
m = 10^{\log_{10}(y)-\alpha} = 10^{-4342{,}9448190325182765 -(-4343)} = 10^{0{,}0551809674817234}.
Para avaliar 10^{0{,}0551809674817234} uso a relação 10^t=e^{t\ln 10}. Como \ln 10\approx2{,}302585092994046,
t\ln 10 = 0{,}0551809674817234\times2{,}302585092994046 \approx 0{,}127052999\ldots
e então
m \approx e^{0{,}127052999}\approx 1{,}135565\ldots
  1. Conclusão desta etapa:
e^{-10000} \approx 1{,}135565\ldots \times 10^{-4343}.
Ou seja, a ordem de grandeza correta tem expoente -4343 e uma mantissa cerca de 1{,}1356.
Comentário intuitivo: a razão pela qual o expoente final é -4343 (e não -4350) é porque -10000\log_{10}(e) é aproximadamente -4342{,}9448; quando escrevemos em forma m\times10^{\alpha} com 1\le m<10 temos que usar \alpha=-4343 e ajustar a mantissa.

Passo 3

Comparar agora o valor correto com os valores que as pessoas deram e calcular erros relativos quando necessário.
Primeiro, observo que P1 e P2 usam mantissa 4{,}539992976248485\ldots com expoente -4350. Essa mantissa 4{,}539992976248485 é exatamente a mantissa conhecida de e^{-10}, porque
e^{-10}\approx 4{,}5399929762484854\times10^{-5}.
Portanto os números apresentados por P1 e P2 parecem corresponder a alguma manipulação incorreta (ou uma confusão com e^{-10}) — em particular o expoente -4350 difere do expoente correto -4343. Já P3 também usa o mesmo expoente errado -4350.
Calculo a razão entre o valor alegado por P1 e o valor correto (aproximado):
\frac{4{,}539992976248485\times10^{-4350}}{1{,}135565\times10^{-4343}} = \frac{4{,}539992976248485}{1{,}135565}\times 10^{-7}.
Avalio o fator numérico:
\frac{4{,}539992976248485}{1{,}135565}\approx 3{,}99999\ldots \approx 4{,}0.
Assim a razão é aproximadamente 4{,}0\times10^{-7}. Isso significa que o valor de P1 é cerca de 4\times10^{-7} vezes o valor correto, ou seja, P1 deu um número muito menor (por um fator da ordem de 10^{7}) — portanto o erro relativo é quase 1 (mais precisamente \approx 1-4\times10^{-7}):
\text{erro relativo}_{\text{P1}} \approx \left|1 - 4{,}0\times10^{-7}\right| \approx 0{,}9999996\ldots \approx 1.
O mesmo cálculo vale para P2, porque P2 tem a mesma mantissa e mesmo expoente que P1 (apenas com mais dígitos escritos). Assim P2 também difere do valor correto por um fator \sim 10^{-7} e tem erro relativo ≈ 1.
Para P3: o valor declarado é 4{,}5400\times10^{-4350}. Isso tem a mesma ordem de problema (mesmo expoente errado), portanto também está errado por fator da ordem 10^{-7} em relação ao valor correto. Se quisesse calcular o erro relativo numérico entre a aproximação de P3 e o valor correto, teríamos essencialmente o mesmo resultado que para P1, ou seja erro relativo muito próximo de 1. A afirmação de P3 de que "o erro relativo é, aproximadamente, 1{,}911\times10^{-16}" é manifestamente incorreta: o erro relativo real é da ordem de 1{,}0 (centenas de milhões de vezes maior que 10^{-16}).
Resumo numérico (aproximações):
  • Valor correto aproximado:
e^{-10000}\approx 1{,}135565\ldots \times10^{-4343}.
  • Valor de P1 e P2:
4{,}539992976248485\ldots \times10^{-4350} \quad(\text{mesmo expoente errado}),
que é cerca de 4{,}0\times10^{-7} vezes o valor correto → erro relativo \approx 0{,}9999996.
  • Valor de P3:
4{,}5400\times10^{-4350},
mesmo problema e erro relativo ≈ 1.

Passo 4

Explicar didaticamente por que as afirmações são falsas e qual é a fonte provável do erro apresentado pelas pessoas.
  1. Notação científica correta: para um número muito pequeno é obrigatório ajustar o expoente de modo que a mantissa fique em [1,10). Aqui a mantissa de e^{-10000} é \approx1{,}1356, logo o expoente é -4343. Os três Pn apresentaram expoente -4350 e mantissa \approx 4{,}54, que corresponde a um número na forma 4{,}54\times10^{-4350}. Essa forma não está na forma normalizada para o resultado correto; é um valor diferente por 7 ordens de grandeza.
  2. Possível origem do erro: os valores escritos por P1–P3 reproduzem precisamente a mantissa de e^{-10} (que é 4{,}539992976248485\ldots com expoente -5). Pode ter ocorrido uma manipulação incorreta de potências (por exemplo confundir (e^{-10})^{1000} com e^{-10000} sem tratar corretamente a normalização das potências de 10), ou simplesmente um erro na normalização final (não ajustar o expoente para manter a mantissa em [1,10)). Por isso todos os três resultados são quantitativamente errados.
  3. Sobre quantos dígitos significativos são confiáveis: mesmo que alguém escreva muitos dígitos (P2 escreveu 20), isso não garante que esses dígitos sejam corretos; o que importa é o procedimento e o fato de que a notação científica deve ter expoente apropriado. Além disso, em aritmética finita há um limite (precisão de máquina) depois do qual dígitos adicionais não são confiáveis.

Passo 5

Determinar a precisão de máquina a partir de teoria e comentar sobre as afirmações de “com quinze dígitos exato” e “com vinte dígitos”.
  1. Informação teórica prática: aritmética em dupla precisão (IEEE 754 double) tem precisão de máquina
\varepsilon_{\text{mach}} = 2^{-52} \approx 2{,}220446049250313\times10^{-16},
o que corresponde a cerca de 15 a 16 dígitos decimais significativos. Isso quer dizer que, em geral, um sistema que use double pode representar corretamente cerca de 15–16 dígitos decimais confiáveis. Em máquinas de 32 bits (float) a precisão é cerca de 2^{-23}\approx1{,}19\times10^{-7}, i.e. cerca de 7 dígitos decimais.
  1. Aplicando isso às afirmações:
  • P1 diz “com quinze dígitos significativos o resultado exato é …”. Mesmo que um computador double represente cerca de 15 dígitos, aqui o problema de P1 não é falta de dígitos: é que o expoente/mantissa estão incorretos. Portanto a afirmação de que o número fornecido por P1 é o “resultado exato” é falsa.
  • P2 diz “com vinte dígitos significativos o resultado aproximado é …”. Escrever 20 dígitos numa máquina double ultrapassa a precisão confiável de double (só ~15–16 são confiáveis). Logo afirmar que 20 dígitos são corretos é duvidoso em geral; além disso, aqui os dígitos apresentados não correspondem ao valor correto nem na ordem de grandeza. Então P2 também é falsa.
  • P3 dá só 5 dígitos, que em princípio é compatível com qualquer máquina; o problema de P3 é novamente o expoente errado e a afirmação de erro relativo 1{,}911\times10^{-16} é numericamente impossível nesse contexto (o erro relativo real é ≈1). Logo P3 também é falsa.
  1. Conclusão sobre precisão de máquina pedida:
  • A precisão de máquina típica esperada para cálculos em dupla precisão é aproximadamente 15 dígitos decimais significativos, com \varepsilon_{\text{mach}}\approx2{,}22\times10^{-16}. É essa a quantidade de dígitos que se pode confiar num cálculo feito em aritmética dupla.

Resposta

P1: Falso
P2: Falso
P3: Falso
Precisão de máquina: aproximadamente 15 dígitos decimais significativos ( \varepsilon_{\text{mach}}\approx 2{,}220446049250313\times10^{-16} ).

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