Se w=f(u, v) com u=x^{2}-y^{2} e v=2 x y :
(a) Expresse \frac{\partial w}{\partial x} e \frac{\partial w}{\partial y} pela regra da cadeia
(b) Mostre que se f satisfaz \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=0, então \Delta w=0

Passo 1

O enunciado define
w = f(u,v),\quad u = x^2 - y^2,\quad v = 2xy
e pede (a) as derivadas parciais \partial w/\partial x e \partial w/\partial y via regra da cadeia e (b) mostrar que se
f_{uu} + f_{vv} = 0
então
\Delta w = w_{xx} + w_{yy} = 0.
Vamos usar a fórmula da cadeia para funções compostas e depois calcular derivadas de segunda ordem e somá-las.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para derivadas primeiras:
\frac{\partial w}{\partial x} = f_u\,\frac{\partial u}{\partial x} + f_v\,\frac{\partial v}{\partial x} = f_u\cdot 2x + f_v\cdot 2y,
\frac{\partial w}{\partial y} = f_u\,\frac{\partial u}{\partial y} + f_v\,\frac{\partial v}{\partial y} = f_u\cdot(-2y) + f_v\cdot 2x.

Passo 3

Agora calculamos w_{xx} = \partial(\partial w/\partial x)/\partial x. Como
\partial w/\partial x = 2x f_u + 2y f_v, temos
w_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2x f_u) + \frac{\partial}{\partial x}(2y f_v) = 2f_u + 2x\bigl(f_{uu}\,u_x + f_{uv}\,v_x\bigr) + 2y\bigl(f_{vu}\,u_x + f_{vv}\,v_x\bigr).
Substituindo u_x=2x e v_x=2y e usando f_{vu}=f_{uv},
w_{xx} = 2f_u + 2x\bigl(2x f_{uu} + 2y f_{uv}\bigr) + 2y\bigl(2x f_{uv} + 2y f_{vv}\bigr) = 2f_u + 4x^2f_{uu} +8xy f_{uv} +4y^2 f_{vv}.

Passo 4

De modo análogo, para w_{yy} = \partial(\partial w/\partial y)/\partial y, com
\partial w/\partial y = -2y f_u + 2x f_v, vem
w_{yy} = -2f_u -2y\bigl(f_{uu}\,u_y + f_{uv}\,v_y\bigr) + 2x\bigl(f_{vu}\,u_y + f_{vv}\,v_y\bigr).
Usando u_y=-2y e v_y=2x,
w_{yy} = -2f_u -2y\bigl(-2y f_{uu} + 2x f_{uv}\bigr) +2x\bigl(-2y f_{uv} + 2x f_{vv}\bigr) = -2f_u +4y^2f_{uu} -8xy f_{uv} +4x^2 f_{vv}.

Passo 5

Somando w_{xx}+w_{yy}:
w_{xx}+w_{yy} = \bigl(2f_u-2f_u\bigr) +4x^2f_{uu}+4y^2f_{uu} +8xyf_{uv}-8xyf_{uv} +4y^2f_{vv}+4x^2f_{vv} =4(x^2+y^2)\bigl(f_{uu}+f_{vv}\bigr).
Se f_{uu}+f_{vv}=0, então
\Delta w = w_{xx}+w_{yy} = 0.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=2x\,f_{u}+2y\,f_{v},\quad \frac{\partial w}{\partial y}=-2y\,f_{u}+2x\,f_{v}.
(b) \displaystyle \Delta w=4(x^2+y^2)\bigl(f_{uu}+f_{vv}\bigr), logo se f_{uu}+f_{vv}=0 então \Delta w=0.

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