Se
com
e
:
(a) Expresse
e
pela regra da cadeia
(b) Mostre que se
satisfaz
, então
(a) Expresse
(b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado define
e pede (a) as derivadas parciais
e
via regra da cadeia e (b) mostrar que se
então
.
Vamos usar a fórmula da cadeia para funções compostas e depois calcular derivadas de segunda ordem e somá-las.
Vamos usar a fórmula da cadeia para funções compostas e depois calcular derivadas de segunda ordem e somá-las.
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia para derivadas primeiras:
Passo 3
Agora calculamos
. Como
, temos
Substituindo
e
e usando
,
Passo 4
De modo análogo, para
, com
, vem
Usando
e
,
Passo 5
Somando
:
Se
, então
.
Resposta
(a)
(b) , logo se
então
.
(b)