Uma dada substância exibe uma capacidade calorifica a pressão constante que varia com a temperatura de acordo com: cP=a+b T onde,
ll a=20,35 & J mol^-1 K^-1 b=1,413 times 10^-2 & J mol^-1 K^-2
Calcule o calor envolvido no aquecimento isobárico reversível de 1 mol desta substância desde 20^circ C até 130^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma substância que possui uma capacidade calorífica a pressão constante que depende da temperatura, dada pela fórmula cP = a + b T. Nosso objetivo é calcular o calor envolvido no aquecimento isobárico (a pressão constante) reversível de 1 mol dessa substância de 20^circ C até 130^circ C. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco de termodinâmica, especificamente como calcular o calor usando a capacidade calorífica que varia com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o calor envolvido em um processo a pressão constante pode ser calculado pela integral da capacidade calorífica cP em relação à temperatura. Ou seja:
Q = integralT1^T2 cP , dT
Aqui, T1 é a temperatura inicial e T2 é a temperatura final. No nosso caso, T1 = 20^circ C e T2 = 130^circ C. Mas antes de tudo, precisamos converter essas temperaturas para Kelvin, já que as fórmulas de termodinâmica geralmente usam essa escala.

Passo 3

Vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin. A conversão é:
T(K) = T(°C) + 273,15
Então:
T1 = 20 + 273,15 = 293,15 , K
T2 = 130 + 273,15 = 403,15 , K
Agora temos as temperaturas em Kelvin.

Passo 4

Agora, vamos substituir a expressão da capacidade calorífica na integral:
Q = integral293,15^403,15 (a + bT) , dT
Sabemos que a = 20,35 , J , mol^-1 K^-1 e b = 1,413 times 10^-2 , J , mol^-1 K^-2. Vamos substituir esses valores na integral:
Q = integral293,15^403,15 (20,35 + 1,413 times 10^-2 T ) dT

Passo 5

Vamos resolver essa integral. A integral de uma soma é a soma das integrais, então temos:
Q = integral293,15^403,15 20,35 , dT + integral293,15^403,15 1,413 times 10^-2 T , dT
Calculando cada parte:
integral 20,35 , dT = 20,35 T
integral 1,413 times 10^-2 T , dT = 1,413 times 10^-2 times T^22 = 7,065 times 10^-3 T^2

Passo 6

Agora, avaliamos essas expressões nos limites de integração:
Q = [20,35 T + 7,065 times 10^-3 T^2 ]293,15^403,15
Substituindo T2 e T1:
Q = (20,35 times 403,15 + 7,065 times 10^-3 times (403,15)^2) - (20,35 times 293,15 + 7,065 times 10^-3 times (293,15)^2)

Passo 7

Vamos calcular cada parte separadamente:
Para T2 = 403,15 , K:
20,35 times 403,15 = 8205,0525 , J/mol
7,065 times 10^-3 times (403,15)^2 = 7,065 times 10^-3 times 162,529 approx 1,149 , J/mol
Total para T2:
8205,0525 + 1,149 approx 8206,2015 , J/mol
Para T1 = 293,15 , K:
20,35 times 293,15 = 5960,0525 , J/mol
7,065 times 10^-3 times (293,15)^2 = 7,065 times 10^-3 times 858,449 approx 6,07 , J/mol
Total para T1:
5960,0525 + 6,07 approx 5966,1225 , J/mol

Passo 8

Agora, subtraímos os valores de T1 de T2:
Q = 8206,2015 - 5966,1225 = 2240,079 , J/mol

Resposta

O calor envolvido no aquecimento isobárico reversível de 1 mol dessa substância de 20^circ C até 130^circ C é aproximadamente 2240,08 , J.

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