1. A forma diferencial 3 x^{2} y^{2} d x+2 x^{3} y d y=0 é exata pois existe uma função F(x, y)= x^{3} y^{2} cuja diferencial exata coincide com o membro da esquerda da equação dada, isto é, \lambda E=0

Passo 1

O enunciado dá a forma diferencial
3x^{2}y^{2}\,dx + 2x^{3}y\,dy = 0
que queremos resolver como uma equação exata. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas de primeira ordem: vamos verificar a exatidão e encontrar uma função potencial F(x,y) cuja diferencial coincida com o termo da esquerda.

Passo 2

Definimos
P(x,y) = 3x^{2}y^{2}, \quad Q(x,y) = 2x^{3}y.
A forma é exata se
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculando,
\frac{\partial P}{\partial y} = 6x^{2}y, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = 6x^{2}y,
logo são iguais e a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial F(x,y), integramos P em relação a x:
F(x,y) = \int 3x^{2}y^{2}\,dx = x^{3}y^{2} + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos a condição
\frac{\partial F}{\partial y} = Q(x,y).
Temos
\frac{\partial F}{\partial y} = 2x^{3}y + h'(y)
e isso deve ser igual a
Q(x,y) = 2x^{3}y.
Logo h'(y)=0, o que implica h(y)=C_{1}.

Passo 5

Assim a função potencial completa é
F(x,y) = x^{3}y^{2} + C_{1}
e a solução geral da equação exata, em forma implícita, é
x^{3}y^{2} = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^{3}y^{2} = C

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