Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Se f(x, y) tem dois máximos locais, então f tem um mínimo local.

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação “se uma função f(x,y) de duas variáveis tem dois máximos locais, então necessariamente existe também um mínimo local” é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é classificação de pontos críticos em funções de duas variáveis, usando gradiente e Hessiana para distinguir máximos, mínimos e selas.

Passo 2

Para mostrar que a afirmação é falsa, damos um contraexemplo concreto. Considere a função
f(x,y) = -\bigl(x^2 - 1\bigr)^2 \;-\; y^2.
Primeiro, encontramos os pontos críticos resolvendo \nabla f = (0,0).
\frac{\partial f}{\partial x} = -2\bigl(x^2-1\bigr)\cdot 2x = -4x\,(x^2-1), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -2y.
As equações -4x(x^2-1)=0 e -2y=0 dão como soluções
y = 0, \quad x = 0 \quad\text{ou}\quad x^2 = 1,
portanto os pontos críticos são (x,y) = (0,0), (1,0) e (-1,0).

Passo 3

Agora classificamos cada ponto usando a matriz Hessiana
H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\\ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}.
Calculamos
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -4(x^2-1) - 8x^2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = 0.
Em (1,0) e (-1,0) temos x^2-1=0, logo
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -8\cdot1 = -8, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2,
ambos negativos, o que faz H definida negativa e classifica (\pm1,0) como máximos locais. Em (0,0) temos x^2-1=-1, então
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -4(-1) - 0 = 4, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2,
os autovalores de H em (0,0) são de sinais opostos, logo é ponto de sela, não mínimo local.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é
f(x,y) = -\bigl(x^2 - 1\bigr)^2 - y^2,
que tem exatamente dois máximos locais em (1,0) e (-1,0) e não possui mínimo local (apenas um ponto de sela em (0,0)).

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