Sabendo-se que
é a superfície dada pela equação
, pede-se:
(a) Identifique e parametrize a superfície
.
(b) Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
(c) Calcule a área da superfície
sobre a região
.
(a) Identifique e parametrize a superfície
(b) Determine a equação do plano tangente à superfície
(c) Calcule a área da superfície
Passo 1
O enunciado trata da superfície paraboloide
dada por
Pede-se: (a) uma parametrização de
; (b) o plano tangente em
; (c) a área de
sobre a região
. Vamos usar: definição de parametrização de gráfico, gradiente para o plano tangente e fórmula de área de superfície
.
Passo 2
Uma parametrização natural usa as próprias coordenadas
e
. Definimos
com
. Isso descreve exatamente todos os pontos de
.
Passo 3
Para o plano tangente, considere
O vetor normal é
. Em
temos
Logo a equação do plano é
que se rearranja em
Passo 4
A área de
sobre
é dada por
Como
e
, o integrando vira
.
Passo 5
Em coordenadas polares
,
,
,
, temos
Use
,
, para obter
Resposta
(a)
.
(b) , ou equivalentemente
.
(c) .
(b)
(c)