Sabendo-se que S é a superfície dada pela equação z=x^{2}+y^{2}, pede-se:
(a) Identifique e parametrize a superfície S.
(b) Determine a equação do plano tangente à superfície S no ponto P_{0}=(1,-1,2).
(c) Calcule a área da superfície S sobre a região D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado trata da superfície paraboloide S dada por
z = x^2 + y^2.
Pede-se: (a) uma parametrização de S; (b) o plano tangente em P_{0}=(1,-1,2); (c) a área de S sobre a região D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le4\}. Vamos usar: definição de parametrização de gráfico, gradiente para o plano tangente e fórmula de área de superfície z=f(x,y).

Passo 2

Uma parametrização natural usa as próprias coordenadas x e y. Definimos
\mathbf{r}(u,v) = \bigl(u,\;v,\;u^2+v^2\bigr),
com (u,v)\in\mathbb{R}^2. Isso descreve exatamente todos os pontos de S.

Passo 3

Para o plano tangente, considere
F(x,y,z)=z - x^2 - y^2 = 0.
O vetor normal é \nabla F = (-2x,\,-2y,\,1). Em P_{0}=(1,-1,2) temos
\nabla F(1,-1,2)=(-2,\;2,\;1).
Logo a equação do plano é
-2(x-1) + 2(y+1) +1\,(z-2)=0,
que se rearranja em
z = 2x \;-\;2y \;-\;2.

Passo 4

A área de S sobre D é dada por
\iint_{D}\sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\,dA \quad\text{com}\quad f(x,y)=x^2+y^2.
Como f_x=2x e f_y=2y, o integrando vira \sqrt{1+4x^2+4y^2}.

Passo 5

Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi, temos
\text{Área} = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \sqrt{1+4r^2}\;r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{2}r\sqrt{1+4r^2}\,dr.Á
Use u=1+4r^2, du=8r\,dr, para obter
\text{Área} =2\pi\frac{1}{8}\int_{1}^{17}u^{1/2}\,du =\frac{\pi}{4}\cdot\frac{2}{3}\bigl(17^{3/2}-1\bigr) =\frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr).Á

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(u,v) = \bigl(u,v,u^2+v^2\bigr).
(b) -2(x-1)+2(y+1)+(z-2)=0, ou equivalentemente z=2x-2y-2.
(c) \displaystyle \frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr).

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