Dada uma superfície S no espaço, esta superfície sempre representa o gráfico de uma função? Explique.

Passo 1

Vamos resumir o que a pergunta está pedindo. A questão quer saber se toda superfície no espaço tridimensional pode ser representada como o gráfico de uma função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como representamos uma superfície como o gráfico de uma função. Normalmente, escrevemos isso como z = f(x, y), onde para cada par de valores (x, y), existe apenas um valor correspondente de z.

Passo 3

Agora, vamos analisar se isso é possível para qualquer superfície. Vamos pensar na esfera, por exemplo. A equação de uma esfera com raio r é x^2 + y^2 + z^2 = r^2. Se tentarmos isolar z, temos:
z = raizr^2 - x^2 - y^2 e z = -raizr^2 - x^2 - y^2

Passo 4

Observamos que para um mesmo par (x, y) dentro da esfera, existem dois valores possíveis de z: um positivo e outro negativo. Isso significa que não podemos escrever a equação da esfera como z = f(x, y), já que uma função só pode ter um único valor de saída para cada entrada.

Resposta

Não, nem toda superfície no espaço pode ser representada como o gráfico de uma função. Somente superfícies onde, para cada (x, y), existe um único valor de z podem ser escritas na forma z = f(x, y).

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