Dada uma superfície
no espaço, esta superfície sempre representa o gráfico de uma função? Explique.
Passo 1
Vamos resumir o que a pergunta está pedindo. A questão quer saber se toda superfície no espaço tridimensional pode ser representada como o gráfico de uma função. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como representamos uma superfície como o gráfico de uma função. Normalmente, escrevemos isso como
, onde para cada par de valores
, existe apenas um valor correspondente de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar se isso é possível para qualquer superfície. Vamos pensar na esfera, por exemplo. A equação de uma esfera com raio
é
. Se tentarmos isolar
, temos:
Passo 4
Observamos que para um mesmo par
dentro da esfera, existem dois valores possíveis de
: um positivo e outro negativo. Isso significa que não podemos escrever a equação da esfera como
, já que uma função só pode ter um único valor de saída para cada entrada.
Resposta
Não, nem toda superfície no espaço pode ser representada como o gráfico de uma função. Somente superfícies onde, para cada
, existe um único valor de
podem ser escritas na forma
.