Problema de crescimento populacional: A população de uma cidade no tempo
(em anos) é modelada pela função
. Determine a taxa de variação da população no ano
anos. Isso indica se a população está crescendo mais rápido ou mais devagar nesse ponto.
Passo 1
O enunciado diz que a população varia segundo
e pede a taxa de variação em
anos. Para isso, vamos calcular a derivada
e depois avaliá-la em
.
Passo 2
Para achar
, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Assim,
Como
,
Passo 3
Agora substituímos
:
Sabendo que
, temos
Ou seja, por volta de
habitantes por ano.
Passo 4
Como
cresce quando
aumenta (já que
é crescente), a taxa de variação da população não só é positiva como também aumenta com o tempo. Isso significa que, em
, a população está crescendo mais rápido do que em momentos anteriores.
Resposta
A taxa positiva e crescente indica que a população está aumentando cada vez mais rápido em
.