Problema de crescimento populacional: A população de uma cidade no tempo t (em anos) é modelada pela função P(t)=5000 cdot e^0,03 t. Determine a taxa de variação da população no ano t=10 anos. Isso indica se a população está crescendo mais rápido ou mais devagar nesse ponto.

Passo 1

O enunciado diz que a população varia segundo
P(t)=5000cdot e^0,03t,
e pede a taxa de variação em t=10 anos. Para isso, vamos calcular a derivada P'(t) e depois avaliá-la em t=10.

Passo 2

Para achar P'(t), aplicamos a regra da cadeia. A derivada de e^0,03t em relação a t é 0,03,e^0,03t. Assim,
P'(t)=5000times 0,03times e^0,03t
Como 5000times 0,03=150,
P'(t)=150,e^0,03t

Passo 3

Agora substituímos t=10:
P'(10)=150,e^0,03cdot10
P'(10)=150,e^0,3
Sabendo que e^0,3approx1,35, temos
P'(10)approx150times1,35=202,5
Ou seja, por volta de 202,5 habitantes por ano.

Passo 4

Como P'(t)=150,e^0,03t cresce quando t aumenta (já que e^0,03t é crescente), a taxa de variação da população não só é positiva como também aumenta com o tempo. Isso significa que, em t=10, a população está crescendo mais rápido do que em momentos anteriores.

Resposta

P'(10)approx202,5 habitantes/ano
A taxa positiva e crescente indica que a população está aumentando cada vez mais rápido em t=10.

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