Problema de taxas de variação relacionadas: Um balão está sendo inflado de modo que o volume
(em metros cúbicos) está aumentando com o tempo. A taxa de variação do volume é dada por
metros cúbicos por minuto. Se o raio do balão no instante
é dado por
, calcule a taxa de variação do raio
quando o volume do balão é
metros cúbicos.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um balão que está sendo inflado, e o volume
desse balão está aumentando ao longo do tempo. A taxa de variação do volume em relação ao tempo é dada por
metros cúbicos por minuto. Além disso, o raio do balão no instante
é dado por
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com taxas de variação relacionadas, que envolvem derivadas e aplicação da regra da cadeia na diferenciação.
O que vamos precisar para resolver:
- Conhecer a fórmula que relaciona o raio ao volume.
- Aplicar a regra da cadeia para encontrar
. - Substituir os valores fornecidos para obter a taxa de variação do raio quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a relação entre o raio
e o volume
do balão:
Queremos encontrar a taxa de variação do raio em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 3
Para encontrar
, vamos derivar a expressão de
em relação ao tempo
. Usaremos a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas.
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a derivada interna:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 5
Vamos agora substituir os valores conhecidos na expressão. Sabemos que
m³/min e
m³.
Primeiro, calculemos
:
Agora, substituímos na expressão de
:
Passo 6
Vamos simplificar passo a passo:
- Calcular
:
- Multiplicar por
e :
- Finalmente, multiplicar por
:
Resposta
A taxa de variação do raio
quando o volume do balão é
metros cúbicos é aproximadamente
metros por minuto.