Problema de taxas de variação relacionadas: Um balão está sendo inflado de modo que o volume V (em metros cúbicos) está aumentando com o tempo. A taxa de variação do volume é dada por d Vd t=3 metros cúbicos por minuto. Se o raio do balão no instante t é dado por r(t)=(V(t)4 pi)^1 / 3, calcule a taxa de variação do raio d rd t quando o volume do balão é 36 pi metros cúbicos.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um balão que está sendo inflado, e o volume V desse balão está aumentando ao longo do tempo. A taxa de variação do volume em relação ao tempo é dada por dVdt = 3 metros cúbicos por minuto. Além disso, o raio do balão no instante t é dado por r(t) = (V(t)4pi)^1/3 .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com taxas de variação relacionadas, que envolvem derivadas e aplicação da regra da cadeia na diferenciação.
O que vamos precisar para resolver:
  • Conhecer a fórmula que relaciona o raio ao volume.
  • Aplicar a regra da cadeia para encontrar drdt .
  • Substituir os valores fornecidos para obter a taxa de variação do raio quando V = 36pi .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a relação entre o raio r e o volume V do balão:
r(t) = (V(t)4pi)^1/3
Queremos encontrar a taxa de variação do raio em relação ao tempo, ou seja, drdt .

Passo 3

Para encontrar drdt , vamos derivar a expressão de r(t) em relação ao tempo t . Usaremos a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas.
drdt = ddt ( V(t)4pi )^1/3
Aplicando a regra da cadeia:
drdt = 13 ( V(t)4pi )^-2/3 cdot ddt ( V(t)4pi )

Passo 4

Agora, vamos simplificar a derivada interna:
ddt ( V(t)4pi ) = 14pi cdot dVdt
Substituindo de volta na expressão de drdt :
drdt = 13 ( V(t)4pi )^-2/3 cdot 14pi cdot dVdt

Passo 5

Vamos agora substituir os valores conhecidos na expressão. Sabemos que dVdt = 3 m³/min e V = 36pi m³.
Primeiro, calculemos V4pi :
V4pi = 36pi4pi = 9
Agora, substituímos na expressão de drdt :
drdt = 13 cdot 9^-2/3 cdot 14pi cdot 3

Passo 6

Vamos simplificar passo a passo:
  1. Calcular 9^-2/3 :
9^-2/3 = (9^1/3)^-2 = (2.0801)^-2 approx 0.2302
  1. Multiplicar por 13 e 3 :
13 cdot 0.2302 cdot 3 = 0.2302
  1. Finalmente, multiplicar por 14pi :
0.2302 cdot 14pi approx 0.230212.5664 approx 0.0183 , metros por minuto

Resposta

A taxa de variação do raio drdt quando o volume do balão é 36pi metros cúbicos é aproximadamente 0.0183 metros por minuto.

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