Resolva a equação diofantina
. (Obs: Obtenha a solução geral.)
Passo 1
Temos a equação diofantina linear
. É conteúdo de equações diofantinas do primeiro grau; vamos precisar do
entre 23 e 5 e do algoritmo de Euclides estendido para achar uma solução particular.
Passo 2
Calculo do
pelo algoritmo de Euclides:
Logo,
, que divide 7, então existe solução inteira.
Passo 3
Agora aplico o algoritmo de Euclides estendido para encontrar coeficientes
e
tais que
. Reescrevendo as últimas duas relações:
Substituindo:
Mas
, então
Multiplicando por 7:
Portanto, uma solução particular é
,
.
Passo 4
Para obter valores menores, posso subtrair 5 de
e 23 de
duas vezes:
Logo, outra solução particular é
,
.
Passo 5
Como aumentar
em 5 e
em 23 não altera
, a solução geral tem um parâmetro inteiro
:
Resposta
As soluções gerais são
,
, com
.