Resolva a equação diofantina 23 x-5 y=7. (Obs: Obtenha a solução geral.)

Passo 1

Temos a equação diofantina linear 23x - 5y = 7. É conteúdo de equações diofantinas do primeiro grau; vamos precisar do gcd entre 23 e 5 e do algoritmo de Euclides estendido para achar uma solução particular.

Passo 2

Calculo do gcd(23,5) pelo algoritmo de Euclides:
23 = 5 cdot 4 + 3
5 = 3 cdot 1 + 2
3 = 2 cdot 1 + 1
2 = 1 cdot 2 + 0
Logo, gcd(23,5)=1, que divide 7, então existe solução inteira.

Passo 3

Agora aplico o algoritmo de Euclides estendido para encontrar coeficientes a e b tais que 23a + 5b = 1. Reescrevendo as últimas duas relações:
1 = 3 - 2 cdot 1
2 = 5 - 3 cdot 1
Substituindo:
1 = 3 - (5 - 3) = 2 cdot 3 - 5
Mas 3 = 23 - 5 cdot 4, então
1 = 2 cdot (23 - 5 cdot 4) - 5 = 2 cdot 23 - 9 cdot 5
Multiplicando por 7:
7 = 14 cdot 23 - 63 cdot 5
Portanto, uma solução particular é x0 = 14, y0 = 63.

Passo 4

Para obter valores menores, posso subtrair 5 de x e 23 de y duas vezes:
x0' = 14 - 5 cdot 2 = 4
y0' = 63 - 23 cdot 2 = 17
Logo, outra solução particular é x0 = 4, y0 = 17.

Passo 5

Como aumentar x em 5 e y em 23 não altera 23x - 5y, a solução geral tem um parâmetro inteiro t:
x = 4 + 5t, y = 17 + 23t, t in Z

Resposta

As soluções gerais são x = 4 + 5t, y = 17 + 23t, com t in Z.

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