Dada a tabela
2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70
referente à função ,
(a) Calcule usando um polinômio de interpolação sobre três pontos.
(b) Dê um limitante para o erro cometido.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar e^3,1 usando um polinômio de interpolação de grau 2 (três pontos) a partir da tabela de valores de f(x)=e^x, e depois fornecer um limitante (cota) para o erro desse polinômio.

Passo 2

Escolhemos os três nós mais próximos de x=3,1, ou seja
x0=2,8, x1=3,0, x2=3,2
com
f(x0)=16,44, f(x1)=20,08, f(x2)=24,53
O polinômio de Lagrange de grau 2 é
P2(x)=sumi=0^2 f(xi),Li(x),
onde
L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2), L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2), L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)

Passo 3

Calculamos os valores dos Li em x=3,1:
L0(3,1)=(3,1-3,0)(3,1-3,2)(2,8-3,0)(2,8-3,2) =(0,1)(-0,1)(-0,2)(-0,4)=-0,125,
L1(3,1)=(3,1-2,8)(3,1-3,2)(3,0-2,8)(3,0-3,2) =(0,3)(-0,1)(0,2)(-0,2)=0,75,
L2(3,1)=(3,1-2,8)(3,1-3,0)(3,2-2,8)(3,2-3,0) =(0,3)(0,1)(0,4)(0,2)=0,375
Logo
P2(3,1)=16,44cdot(-0,125)+20,08cdot0,75+24,53cdot0,375 =22,20375approx22,20

Passo 4

O resto de Lagrange para grau 2 em x é
R2(x)=f^(3)(xi)3!(x-x0)(x-x1)(x-x2)
para algum xi entre os nós. Aqui f^(3)(x)=e^x, e entre 2,8 e 3,2 temos
e^xi<= e^3,2=24,53

Passo 5

Assim
l|R2(3,1)r|<=e^3,26,l|(3,1-2,8)(3,1-3,0)(3,1-3,2)r| =24,536times0,3times0,1times0,1 approx0,0123

Resposta

Aproximação: e^3,1approx22,20.
Cota do erro: l|R2(3,1)r|<=0,0123.

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