Considere a função tabelada como segue:
0.1 0.2 0.4
2.82 2.67 2.43
(a) Determine o polinômio interpolador de , usando a fórmula de Lagrange.
(b) Obtenha um limitante superior para o erro cometido ao se aproximar por no intervalo [0.1, 0.4].
(c) Avalie diretamente o erro cometido ao se aproximar por $p(0.25).

Passo 1

O enunciado dá os pontos
(x0,f0)=(0,1,2,82), (x1,f1)=(0,2,2,67), (x2,f2)=(0,4,2,43)
e pede: (a) o polinômio interpolador de Lagrange p(x) de grau 2; (b) um limitante superior para o erro l|f(x)-p(x)r| em [0,1,0,4]; (c) o erro exato em x=0,25. Vamos usar a fórmula de Lagrange e a expressão do termo de resto.

Passo 2

Construímos as bases de Lagrange:
L0(x)=(x-0,2)(x-0,4)(0,1-0,2)(0,1-0,4), L1(x)=(x-0,1)(x-0,4)(0,2-0,1)(0,2-0,4), L2(x)=(x-0,1)(x-0,2)(0,4-0,1)(0,4-0,2)
Então o polinômio é
p(x)=2,82,L0(x)+2,67,L1(x)+2,43,L2(x)

Passo 3

Expandindo e somando os coeficientes obtemos
p(x)=x^2 -1,8,x +2,99

Passo 4

Para o erro usamos a forma do termo de resto na interpolação de grau 2:
f(x)-p(x) =f^(3)(xi)3!(x-0,1)(x-0,2)(x-0,4),
com xi entre 0,1 e 0,4. Como
f(x)=3+x1+x implies f^(3)(x)=-12(1+x)^4,
temos
l|f^(3)(x)r|=12(1+x)^4 <= 12(1,1)^4approx8,197
no intervalo dado. Logo podemos tomar M=8,197.

Passo 5

Calculamos o máximo de
l|(x-0,1)(x-0,2)(x-0,4)r| em [0,1,0,4].
Derivando o produto e achando os críticos, verifica-se que o valor máximo absoluto é aproximadamente
maxxin[0,1,0,4]l|(x-0,1)(x-0,2)(x-0,4)r| approx0,002112

Passo 6

O limitante superior do erro é
maxxin[0,1,0,4]|f(x)-p(x)| <= M3!,max|(x-0,1)(x-0,2)(x-0,4)| approx8,1976times0,002112 approx0,00289

Passo 7

Para x=0,25 temos
f(0,25)=3,251,25=2,6, p(0,25)=(0,25)^2-1,8cdot0,25+2,99 =2,6025
Logo o erro exato é
l|f(0,25)-p(0,25)r| =|2,6-2,6025| =0,0025

Resposta

(a) p(x)=x^2-1,8,x+2,99.
(b) max[0,1,0,4]|f(x)-p(x)|<=sssim0,00289.
(c) |f(0,25)-p(0,25)|=0,0025.

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