(a) Determine o polinômio interpolador de , usando a fórmula de Lagrange.
(b) Obtenha um limitante superior para o erro cometido ao se aproximar por no intervalo [0.1, 0.4].
(c) Avalie diretamente o erro cometido ao se aproximar por $p(0.25).
Passo 1
O enunciado dá os pontos
e pede: (a) o polinômio interpolador de Lagrange de grau ; (b) um limitante superior para o erro em [0,1,0,4]; (c) o erro exato em x=0,25. Vamos usar a fórmula de Lagrange e a expressão do termo de resto.
Para o erro usamos a forma do termo de resto na interpolação de grau 2:
f(x)-p(x) =f^(3)(xi)3!(x-0,1)(x-0,2)(x-0,4),
com xi entre 0,1 e 0,4. Como
f(x)=3+x1+x implies f^(3)(x)=-12(1+x)^4,
temos
l|f^(3)(x)r|=12(1+x)^4 <= 12(1,1)^4approx8,197
no intervalo dado. Logo podemos tomar M=8,197.
Passo 5
Calculamos o máximo de l|(x-0,1)(x-0,2)(x-0,4)r| em [0,1,0,4].
Derivando o produto e achando os críticos, verifica-se que o valor máximo absoluto é aproximadamente