Um agente de trânsito está monitorando uma rua retilínea de uma determinada cidade. Nesta rua há 3 radares instalados nas posições
e
e, a partir de um estudo feito no mês, o agente tem as informações de velocidade média
com a qual os veículos passam por cada um dos radares:
0
0.5
1.0
62.1
45.5
52.7
Uma escola infantil será construída entre o quilômetro 0 e o quilômetro 1 da via. Usando interpolação polinomial, estime o quilômetro
mais adequado para construir a escola, sabendo que a intenção do agente é recomendar a posição onde os carros passam com menor velocidade.
|
0 | 0.5 | 1.0 |
|
62.1 | 45.5 | 52.7 |
Passo 1
O enunciado dá as velocidades médias em três pontos da via:
e pede, por interpolação polinomial, o ponto
em que a velocidade é mínima. Para isso, vamos construir o polinômio quadrático
que interpola esses três pontos e depois achar seu mínimo.
Passo 2
Usamos a forma de Lagrange para escrever
onde
Passo 3
Calculando cada base e o polinômio, obtemos
logo, ao multiplicar por
,
e
,
Passo 4
Para achar o extremo de
, calculamos a derivada
e igualamos a zero, encontrando
Passo 5
Como a segunda derivada é
, esse ponto é mínimo e está dentro de
.
Resposta
O quilômetro mais adequado para construir a escola é aproximadamente
km.