Um agente de trânsito está monitorando uma rua retilínea de uma determinada cidade. Nesta rua há 3 radares instalados nas posições e e, a partir de um estudo feito no mês, o agente tem as informações de velocidade média com a qual os veículos passam por cada um dos radares:
0 0.5 1.0
62.1 45.5 52.7
Uma escola infantil será construída entre o quilômetro 0 e o quilômetro 1 da via. Usando interpolação polinomial, estime o quilômetro mais adequado para construir a escola, sabendo que a intenção do agente é recomendar a posição onde os carros passam com menor velocidade.

Passo 1

O enunciado dá as velocidades médias em três pontos da via:
(x0,v0)=(0,62,1), (x1,v1)=(0,5,45,5), (x2,v2)=(1,52,7),
e pede, por interpolação polinomial, o ponto xin[0,1] em que a velocidade é mínima. Para isso, vamos construir o polinômio quadrático P(x) que interpola esses três pontos e depois achar seu mínimo.

Passo 2

Usamos a forma de Lagrange para escrever
P(x)=v0L0(x)+v1L1(x)+v2L2(x),
onde
L0(x)=(x-0,5)(x-1)(0-0,5)(0-1), L1(x)=x(x-1)(0,5-0)(0,5-1), L2(x)=x(x-0,5)(1-0)(1-0,5)

Passo 3

Calculando cada base e o polinômio, obtemos
L0(x)=2(x^2-1,5x+0,5), L1(x)=-4(x^2-x), L2(x)=2(x^2-0,5x),
logo, ao multiplicar por v0=62,1, v1=45,5 e v2=52,7,
P(x)=47,6,x^2-57,x+62,1

Passo 4

Para achar o extremo de P(x), calculamos a derivada
P'(x)=95,2,x-57
e igualamos a zero, encontrando
x=5795,2approx0,598

Passo 5

Como a segunda derivada é P''(x)=95,2>0, esse ponto é mínimo e está dentro de [0,1].

Resposta

O quilômetro mais adequado para construir a escola é aproximadamente xapprox0,598 km.

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