Dada a tabela, o objetivo deste exercício é encontrar o polinômio de interpolação de Lagrange usando todos os valores:
x 2,3 2,4 2,5 2,6
log 10 x 0,361728 0,380211 0,397940 0,414973
Encontrar o erro (exato) cometido na aproximação;

Passo 1

Beleza, aqui o que temos é uma tabelinha de valores de
f(x)=log10x
nos pontos
x0=2.3, x1=2.4, x2=2.5, x3=2.6
O que a gente quer é o polinômio de interpolação de Lagrange que passa nessas quatro “bolinhas” e, em seguida, escrever o erro exato dessa aproximação usando a fórmula do resto.
Conteúdo necessário:
  • Fórmula do polinômio de Lagrange
  • Cálculo da derivada de ordem 4 de
  • Fórmula do resto de Taylor/Interpolação
A partir do próximo passo, a gente monta tudo direitinho.

Passo 2

Vamos escrever o polinômio de Lagrange na forma
P3(x);=;sumi=0^3 f(xi),Li(x)
onde cada base Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^3x - xjxi - xj é
L0(x)&=(x-2.4)(x-2.5)(x-2.6)(2.3-2.4)(2.3-2.5)(2.3-2.6), L1(x)&=(x-2.3)(x-2.5)(x-2.6)(2.4-2.3)(2.4-2.5)(2.4-2.6), L2(x)&=(x-2.3)(x-2.4)(x-2.6)(2.5-2.3)(2.5-2.4)(2.5-2.6), L3(x)&=(x-2.3)(x-2.4)(x-2.5)(2.6-2.3)(2.6-2.4)(2.6-2.5)
No nosso caso:

Passo 3

Substituindo os P3(x)&=0.361728,L0(x);+;0.380211,L1(x) &+;0.397940,L2(x);+;0.414973,L3(x) :
Esse é o polinômio que passa exatamente pelos quatro pontos dados.

Passo 4

Agora o erro exato da interpolação de grau 3 vem da fórmula do resto de Lagrange:
R3(x) =f^(4)(xi)4!,(x-2.3)(x-2.4)(x-2.5)(x-2.6),
para algum f(x)=log10x Longrightarrow f^(4)(x) =-6ln 10;x^-4, entre o menor e o maior nó (entre 2.3 e 2.6).
Como
R3(x) =-6/(ln 10);xi^-44!,(x-2.3)(x-2.4)(x-2.5)(x-2.6) =,-14,ln 10,(x-2.3)(x-2.4)(x-2.5)(x-2.6)xi^4
substituindo em :

Resposta

Polinômio de Lagrange de grau 3:
P3(x) =0.361728,L0(x)+0.380211,L1(x)+0.397940,L2(x)+0.414973,L3(x)
com boxed R3(x) =-14,ln 10 ;(x-2.3)(x-2.4)(x-2.5)(x-2.6)xi^4, para algum xiin(2.3,2.6) definidos acima.
Erro exato da aproximação:

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