Dada a tabela, o objetivo deste exercício é encontrar o polinômio de interpolação de Lagrange usando todos os valores:
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2,3 | 2,4 | 2,5 | 2,6 |
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0,361728 | 0,380211 | 0,397940 | 0,414973 |
Encontrar o erro (exato) cometido na aproximação;
Passo 1
Beleza, aqui o que temos é uma tabelinha de valores de
nos pontos
O que a gente quer é o polinômio de interpolação de Lagrange
que passa nessas quatro “bolinhas” e, em seguida, escrever o erro exato
dessa aproximação usando a fórmula do resto.
Conteúdo necessário:
Conteúdo necessário:
- Fórmula do polinômio de Lagrange
- Cálculo da derivada de ordem 4 de
- Fórmula do resto de Taylor/Interpolação
A partir do próximo passo, a gente monta tudo direitinho.
Passo 2
Vamos escrever o polinômio de Lagrange na forma
onde cada base
é
No nosso caso:
Passo 3
Substituindo os
:
Esse é o polinômio que passa exatamente pelos quatro pontos dados.
Passo 4
Agora o erro exato da interpolação de grau 3 vem da fórmula do resto de Lagrange:
para algum
entre o menor e o maior nó (entre 2.3 e 2.6).
Como
Como
substituindo em
:
Resposta
Polinômio de Lagrange de grau 3:
com
definidos acima.
Erro exato da aproximação: