Suponha a medição da temperatura ao longo de 19 horas, representadas pelo seguinte conjunto de dados,
t (horas ) T(t)-temperatura ( ^circ C)
0 19.4
1 18.9
2 18.2
3 17.9
4 17.1
5 15.8
6 12.5
7 14.6
8 15.1
9 14.6
10 14.3
11 16.7
12 18
13 19.7
14 21.6
15 23
16 24
17 23.3
18 23.8
19 23.6
Obtenha um modelo da forma T approx f(t)=a0 g0(t)+a1 g1(t)+a2 g2(t)+a3 g3(t) que melhor ajuste a variação da temperatura ao longo do dia. Onde gi(t) com i=0, cdots, 3 são funções de base radial.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos 19 pares de medidas T(t)approx f(t);=;a0,g0(t);+;a1,g1(t);+;a2,g2(t);+;a3,g3(t), de temperatura ao longo do dia (de até horas). Queremos ajustar esses dados por um modelo
onde cada é uma função de base radial. A ideia é usar mínimos quadrados para encontrar os coeficientes que “melhor” aproximam os dados.
Conteúdo: ajuste por mínimos quadrados e introdução a funções de base radial.

Passo 2

Escolha das bases radiais: vamos centrar as 4 funções em gi(t);=;exp!gl(-(t-ci)^22,sigma^2gr) (i=0,1,2,3) , , , e tomar uma largura típica . Assim definimos
Essas são “radiais” porque dependem só da distância .

Passo 3

Montamos a matriz de projeto Gj,i ;=; gi(tj), j=1,dots,19,;i=0,dots,3 de tamanho G^T,G, a ;=; G^T, T , com
E o vetor de observações .
Pela teoria de mínimos quadrados, os coeficientes vêm da equação normal
Isso dá um sistema que podemos resolver numericamente (ex.: MATLAB, Python, Octave, Excel).

Passo 4

Resolvendo a0 approx 21.04, a1 approx -4.27, a2 approx 9.76, a3 approx -1.62 em software, obtemos aprox.:
Esses são os coeficientes que minimizam o erro quadrático médio entre e .

Resposta

O modelo final fica
boxed f(t);=;21.04,e^-(t-0)^218 ;-;4.27,e^-(t-6)^218 ;+;9.76,e^-(t-12)^218 ;-;1.62,e^-(t-18)^218
com coeficientes .

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