Suponha a medição da temperatura ao longo de 19 horas, representadas pelo seguinte conjunto de dados,
|
|
---|---|
0 | 19.4 |
1 | 18.9 |
2 | 18.2 |
3 | 17.9 |
4 | 17.1 |
5 | 15.8 |
6 | 12.5 |
7 | 14.6 |
8 | 15.1 |
9 | 14.6 |
10 | 14.3 |
11 | 16.7 |
12 | 18 |
13 | 19.7 |
14 | 21.6 |
15 | 23 |
16 | 24 |
17 | 23.3 |
18 | 23.8 |
19 | 23.6 |
Obtenha um modelo da forma
que melhor ajuste a variação da temperatura ao longo do dia. Onde
com
são funções de base radial.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos 19 pares de medidas
de temperatura ao longo do dia (de
até
horas). Queremos ajustar esses dados por um modelo
onde cada
é uma função de base radial. A ideia é usar mínimos quadrados para encontrar os coeficientes
que “melhor” aproximam os dados.
Conteúdo: ajuste por mínimos quadrados e introdução a funções de base radial.
Conteúdo: ajuste por mínimos quadrados e introdução a funções de base radial.
Passo 2
Escolha das bases radiais: vamos centrar as 4 funções em
,
,
,
e tomar uma largura típica
. Assim definimos
Essas
são “radiais” porque dependem só da distância
.
Passo 3
Montamos a matriz de projeto
de tamanho
, com
E o vetor de observações
.
Pela teoria de mínimos quadrados, os coeficientes vêm da equação normal
Pela teoria de mínimos quadrados, os coeficientes
Isso dá um sistema
que podemos resolver numericamente (ex.: MATLAB, Python, Octave, Excel).
Passo 4
Resolvendo
em software, obtemos aprox.:
Esses são os coeficientes que minimizam o erro quadrático médio entre
e
.
Resposta
O modelo final fica
com coeficientes
.