Dada a tabela, o objetivo deste exercício é encontrar o polinômio de interpolação de Lagrange usando todos os valores:
x 2,3 2,4 2,5 2,6
log 10 x 0,361728 0,380211 0,397940 0,414973
Determine o valor aproximado de log 10 2,45, usando interpolação polinomial;

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: temos quatro pontos
(2,3,;0,361728), (2,4,;0,380211), (2,5,;0,397940), (2,6,;0,414973)
e seus valores de P(x) ;=;sumi=0^3 yi,elli(x) :
O conteúdo aqui é Interpolação Polinomial de Lagrange. Para resolver, a gente vai usar a fórmula do polinômio
elli(x) ;=;prodsubstackj=0 jneq i^3x - xjxi - xj
onde
O objetivo é achar , que vai ser nossa aproximação de .

Passo 2

Definimos os dados e índices:
x0=2,3,;y0=0,361728; x1=2,4,;y1=0,380211; x2=2,5,;y2=0,397940; x3=2,6,;y3=0,414973
Aplicando a fórmula de Lagrange,
P(2,45) =sumi=0^3 yi,elli(2,45),
então precisamos calcular cada .

Passo 3

Cálculo de ell0(2,45) =(2,45-2,4)(2,45-2,5)(2,45-2,6) (2,3-2,4)(2,3-2,5)(2,3-2,6) :
ell0(2,45)=0,000375-0,006=-0,0625,
Numerador: .
Denominador: .
Logo
e portanto .

Passo 4

Cálculo de ell1(2,45) =(2,45-2,3)(2,45-2,5)(2,45-2,6) (2,4-2,3)(2,4-2,5)(2,4-2,6) :
ell1(2,45)=0,0011250,002=0,5625,
Numerador: .
Denominador: .
Assim
e
.

Passo 5

Cálculo de ell2(2,45) =(2,45-2,3)(2,45-2,4)(2,45-2,6) (2,5-2,3)(2,5-2,4)(2,5-2,6) :
ell2(2,45)=-0,001125-0,002=0,5625,
Numerador: .
Denominador: .
Logo
e
.

Passo 6

Cálculo de ell3(2,45) =(2,45-2,3)(2,45-2,4)(2,45-2,5) (2,6-2,3)(2,6-2,4)(2,6-2,5) :
ell3(2,45)=-0,0003750,006=-0,0625,
Numerador: .
Denominador: .
Então
e
.

Passo 7

Agora somamos tudo em P(2,45) =sumi=0^3 yi,elli(2,45) approx(-0,022608)+0,213869+0,223841+(-0,025936) approx0,389166 :

Resposta

A aproximação de boxed0,38917 pela interpolação de Lagrange usando esses quatro pontos é aproximadamente

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