Dada a tabela, o objetivo deste exercício é encontrar o polinômio de interpolação de Lagrange usando todos os valores:
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2,3 | 2,4 | 2,5 | 2,6 |
---|---|---|---|---|
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0,361728 | 0,380211 | 0,397940 | 0,414973 |
Encontrar o erro aproximado, por meio do Corolário 2 do Teorema da fórmula do erro.
Obs.: Para todos os cálculos efetuados, considerar a mesma quantidade de casas decimais dos dados fornecidos.
Obs.: Para todos os cálculos efetuados, considerar a mesma quantidade de casas decimais dos dados fornecidos.
Passo 1
Beleza, o problema diz o seguinte: a gente tem quatro pontos
x₀=2,3 com y₀=log₁₀(2,3)=0,361728
x₁=2,4 com y₁=0,380211
x₂=2,5 com y₂=0,397940
x₃=2,6 com y₃=0,414973
E o que a gente vai fazer?
• Matéria: interpolação polinomial de Lagrange e estimativa de erro (Corolário 2 do teorema do resto).
• O que precisamos: a fórmula de Lagrange para montar o polinômio P₃(x) que passe por esses 4 pontos e a fórmula do erro
Rₙ(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)·(x–x₀)…(x–xₙ)/(n+1)!
para estimar um majorante do valor absoluto desse resto.
x₀=2,3 com y₀=log₁₀(2,3)=0,361728
x₁=2,4 com y₁=0,380211
x₂=2,5 com y₂=0,397940
x₃=2,6 com y₃=0,414973
E o que a gente vai fazer?
• Matéria: interpolação polinomial de Lagrange e estimativa de erro (Corolário 2 do teorema do resto).
• O que precisamos: a fórmula de Lagrange para montar o polinômio P₃(x) que passe por esses 4 pontos e a fórmula do erro
Rₙ(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)·(x–x₀)…(x–xₙ)/(n+1)!
para estimar um majorante do valor absoluto desse resto.
Passo 2
Vamos lembrar a teoria da interpolação de Lagrange:
Se temos n+1 pontos (x₀,y₀),…,(xₙ,yₙ), o polinômio de grau ≤n que interpola esses pontos é
Se temos n+1 pontos (x₀,y₀),…,(xₙ,yₙ), o polinômio de grau ≤n que interpola esses pontos é
onde
Aqui n=3, então teremos L₀, L₁, L₂ e L₃, cada um com produto de três fatores.
Passo 3
Vamos montar cada Lᵢ(x) e depois P₃(x).
Denominadores (já calculados):
d₀=(2,3–2,4)(2,3–2,5)(2,3–2,6)=–0,006
d₁=(2,4–2,3)(2,4–2,5)(2,4–2,6)= 0,002
d₂=(2,5–2,3)(2,5–2,4)(2,5–2,6)=–0,002
d₃=(2,6–2,3)(2,6–2,4)(2,6–2,5)= 0,006
d₀=(2,3–2,4)(2,3–2,5)(2,3–2,6)=–0,006
d₁=(2,4–2,3)(2,4–2,5)(2,4–2,6)= 0,002
d₂=(2,5–2,3)(2,5–2,4)(2,5–2,6)=–0,002
d₃=(2,6–2,3)(2,6–2,4)(2,6–2,5)= 0,006
Logo:
Então o polinômio de Lagrange é
Esse é o polinômio que interpola os quatro pontos.
Passo 4
Agora o erro aproximado pelo Corolário 2.
f(x)=log₁₀(x)=\ln(x)/\ln(10) ⇒
f′(x)=1/(x ln10), f″(x)=–1/(x² ln10), f‴(x)=2/(x³ ln10),
f⁽⁴⁾(x)=–6/(x⁴ ln10).
No intervalo [2,3; 2,6] o valor absoluto |f⁽⁴⁾(ξ)| atinge máximo em ξ mínimo, ou seja em ξ=2,3:
f(x)=log₁₀(x)=\ln(x)/\ln(10) ⇒
f′(x)=1/(x ln10), f″(x)=–1/(x² ln10), f‴(x)=2/(x³ ln10),
f⁽⁴⁾(x)=–6/(x⁴ ln10).
No intervalo [2,3; 2,6] o valor absoluto |f⁽⁴⁾(ξ)| atinge máximo em ξ mínimo, ou seja em ξ=2,3:
Então, para todo x nesse intervalo,
Resposta
P₃(x)=0,361728·L₀(x)+0,380211·L₁(x)+0,397940·L₂(x)+0,414973·L₃(x),
com
L₀(x) = −((x−2,4)(x−2,5)(x−2,6))/0,006,
L₁(x) = ((x−2,3)(x−2,5)(x−2,6))/0,002,
L₂(x) = −((x−2,3)(x−2,4)(x−2,6))/0,002,
L₃(x) = ((x−2,3)(x−2,4)(x−2,5))/0,006.
com
L₀(x) = −((x−2,4)(x−2,5)(x−2,6))/0,006,
L₁(x) = ((x−2,3)(x−2,5)(x−2,6))/0,002,
L₂(x) = −((x−2,3)(x−2,4)(x−2,6))/0,002,
L₃(x) = ((x−2,3)(x−2,4)(x−2,5))/0,006.
E o erro satisfaz