Dada a tabela, o objetivo deste exercício é encontrar o polinômio de interpolação de Lagrange usando todos os valores:
x 2,3 2,4 2,5 2,6
log 10 x 0,361728 0,380211 0,397940 0,414973
Encontrar o erro aproximado, por meio do Corolário 2 do Teorema da fórmula do erro.
Obs.: Para todos os cálculos efetuados, considerar a mesma quantidade de casas decimais dos dados fornecidos.

Passo 1

Beleza, o problema diz o seguinte: a gente tem quatro pontos
x₀=2,3 com y₀=log₁₀(2,3)=0,361728
x₁=2,4 com y₁=0,380211
x₂=2,5 com y₂=0,397940
x₃=2,6 com y₃=0,414973
E o que a gente vai fazer?
• Matéria: interpolação polinomial de Lagrange e estimativa de erro (Corolário 2 do teorema do resto).
• O que precisamos: a fórmula de Lagrange para montar o polinômio P₃(x) que passe por esses 4 pontos e a fórmula do erro
Rₙ(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)·(x–x₀)…(x–xₙ)/(n+1)!
para estimar um majorante do valor absoluto desse resto.

Passo 2

Vamos lembrar a teoria da interpolação de Lagrange:
Se temos n+1 pontos (x₀,y₀),…,(xₙ,yₙ), o polinômio de grau ≤n que interpola esses pontos é
Pn(x)=sumi=0^n yi,Li(x)
onde
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^n x-xjxi-xj
Aqui n=3, então teremos L₀, L₁, L₂ e L₃, cada um com produto de três fatores.

Passo 3

Vamos montar cada Lᵢ(x) e depois P₃(x).
Denominadores (já calculados):
d₀=(2,3–2,4)(2,3–2,5)(2,3–2,6)=–0,006
d₁=(2,4–2,3)(2,4–2,5)(2,4–2,6)= 0,002
d₂=(2,5–2,3)(2,5–2,4)(2,5–2,6)=–0,002
d₃=(2,6–2,3)(2,6–2,4)(2,6–2,5)= 0,006
Logo:
L0(x)=-(x-2,4)(x-2,5)(x-2,6)0,006,
L1(x)= (x-2,3)(x-2,5)(x-2,6)0,002,
L2(x)=-(x-2,3)(x-2,4)(x-2,6)0,002,
L3(x)= (x-2,3)(x-2,4)(x-2,5)0,006
Então o polinômio de Lagrange é
P3(x)=0,361728,L0(x);+;0,380211,L1(x);+;0,397940,L2(x);+;0,414973,L3(x)
Esse é o polinômio que interpola os quatro pontos.

Passo 4

Agora o erro aproximado pelo Corolário 2.
f(x)=log₁₀(x)=\ln(x)/\ln(10) ⇒
f′(x)=1/(x ln10), f″(x)=–1/(x² ln10), f‴(x)=2/(x³ ln10),
f⁽⁴⁾(x)=–6/(x⁴ ln10).
No intervalo [2,3; 2,6] o valor absoluto |f⁽⁴⁾(ξ)| atinge máximo em ξ mínimo, ou seja em ξ=2,3:
M=maxξin[2,3,2,6]|!-6ξ^4ln10| =62,3^4,ln10approx0,093159
Então, para todo x nesse intervalo,
|R3(x)|<= M4!,|(x-2,3)(x-2,4)(x-2,5)(x-2,6)| =0,09315924,|(x-2,3)(x-2,4)(x-2,5)(x-2,6)|

Resposta

P₃(x)=0,361728·L₀(x)+0,380211·L₁(x)+0,397940·L₂(x)+0,414973·L₃(x),
com
L₀(x) = −((x−2,4)(x−2,5)(x−2,6))/0,006,
L₁(x) = ((x−2,3)(x−2,5)(x−2,6))/0,002,
L₂(x) = −((x−2,3)(x−2,4)(x−2,6))/0,002,
L₃(x) = ((x−2,3)(x−2,4)(x−2,5))/0,006.
E o erro satisfaz
|R3(x)|<= 0,09315924,|(x-2,3)(x-2,4)(x-2,5)(x-2,6)|

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