Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos saber se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}
é convergente ou divergente. Este problema envolve testes de convergência para séries de termos positivos. Vamos usar o Teste da Integral, que compara a soma com a integral de uma função que espelha o termo geral.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do Teste da Integral. Definimos a função
f(x) = \frac{1}{x \ln x},
para x \ge 2. Observamos que:
  1. f(x)>0 para todo x>1,
  2. f(x) é contínua em [2,\infty) (pois \ln x>0 para x>1),
  3. f(x) é decrescente em [2,\infty), já que a derivada
f'(x) = -\frac{\ln x +1}{x^2 (\ln x)^2}
é negativa para x>1. Logo, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Integral, comparando a série com a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln x}\,dx.
Se essa integral divergir, então a série também diverge; se ela convergir, a série converge.

Passo 4

Calculamos a integral imprópria. Use a substituição
u = \ln x \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{1}{x}\,dx.
Quando x=2, u=\ln 2; quando x\to\infty, u\to\infty. Assim,
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln x}\,dx = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u}\,du.

Passo 5

A integral
\int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u}\,du
é igual a
\bigl[\ln u\bigr]_{\ln 2}^{\infty} = \lim_{b\to\infty} \ln b - \ln(\ln 2) = +\infty.
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral a série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n} também diverge.

Resposta

A série é divergente.

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