Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos saber se a série
é convergente ou divergente. Este problema envolve testes de convergência para séries de termos positivos. Vamos usar o Teste da Integral, que compara a soma com a integral de uma função que espelha o termo geral.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do Teste da Integral. Definimos a função
para
. Observamos que:
-
para todo , -
é contínua em (pois para ), -
é decrescente em , já que a derivada
é negativa para
. Logo, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Aplicamos o Teste da Integral, comparando a série com a integral imprópria
Se essa integral divergir, então a série também diverge; se ela convergir, a série converge.
Passo 4
Calculamos a integral imprópria. Use a substituição
Quando
,
; quando
,
. Assim,
Passo 5
A integral
é igual a
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral a série
também diverge.
Resposta
A série é divergente.