Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}
é convergente ou divergente. Trata-se de uma série de termos positivos, e vamos usar o teste da integral (ou de Cauchy) para séries de termos positivos.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^{2}},
para x\ge2. Observamos que:
  1. f(x)>0 para x>1.
  2. f(x) é contínua em [2,\infty).
  3. Para ver que f é decrescente, calculamos
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[x^{-1}(\ln x)^{-2}\Bigr] =-\frac{1}{x^{2}(\ln x)^{2}} -\frac{2}{x^{2}(\ln x)^{3}} <0 \quad\text{para }x>1.
Logo, f satisfaz as hipóteses do teste da integral.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, analisando
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x (\ln x)^{2}}.
Fazemos a substituição u=\ln x, logo du=\tfrac{dx}{x}. Quando x=2, u=\ln2; quando x\to\infty, u\to\infty. Assim
\int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x (\ln x)^{2}} =\int_{\ln2}^{\infty} \frac{du}{u^{2}} =\Bigl[-\,\frac{1}{u}\Bigr]_{u=\ln2}^{u\to\infty} =0 - \Bigl(-\frac{1}{\ln2}\Bigr) =\frac{1}{\ln2},
que é finito.

Passo 4

Como a integral imprópria \displaystyle \int_{2}^{\infty}f(x)\,dx
converge (é finita), pelo teste da integral concluímos que a série \sum_{n=2}^{\infty}f(n)
também é convergente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}} é convergente.

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