Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. Trata-se de uma série de termos positivos, e vamos usar o teste da integral (ou de Cauchy) para séries de termos positivos.
Passo 2
Definimos a função
para
. Observamos que:
-
para . -
é contínua em . - Para ver que
é decrescente, calculamos
Logo,
satisfaz as hipóteses do teste da integral.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral, analisando
Fazemos a substituição
, logo
. Quando
,
; quando
,
. Assim
que é finito.
Passo 4
Como a integral imprópria
converge (é finita), pelo teste da integral concluímos que a série
também é convergente.
converge (é finita), pelo teste da integral concluímos que a série
também é convergente.
Resposta
A série
é convergente.