Dada uma tal que com , determine o núcleo de T, uma base para esse núcleo, a dimensão do núcleo de T e a dimensão da imagem de T.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Tcolon M2,2to M2,2, T(A)=AB - BA,
onde
B = 1 & -1[6pt]2 & 0
Queremos encontrar 1. o núcleo de T, i.e.\ as matrizes A que comutam com B, 2. uma base e a dimensão de ker(T), 3. a dimensão de Im(T).
Vamos usar a condição de comutação AB=BA e, em seguida, o teorema do posto e núcleo.]
Passo 2
Seja
A = a & b[4pt]c & d
Calculamos
AB = a+2b & -a[4pt]c+2d & -c, BA = a-c & b-d[4pt]2a & 2b
Para Ainker(T) precisamos de AB=BA. Igualando entradas, obtemos o sistema
a + 2b = a - c, -,a = b - d, c + 2d = 2a, -,c = 2b ]
Passo 3
Das equações acima temos
c = -2b, d = a + b,
e as outras equações são então satisfeitas automaticamente. Logo
A = a & b[4pt]-2b & a+b = a1&0[4pt]0&1 + b0&1[4pt]-2&1
Note que 0&1-2&1 = I - B,
então equivalently
A = alpha I + beta B (alpha,betainR)
Portanto
ker(T) = ,alpha I + beta B : alpha,betainR ]
Passo 4
Uma base de ker(T) é, por exemplo,
,I,;B
Logo
diml(ker(T)r)=2
Pelo teorema do posto e núcleo em dimensão finita, como dim M2,2=4, temos