Dada uma taxa de juros qualquer anual, assinale a alternativa que apresenta a maior taxa acumulada mensal nos primeiros 12 meses.
A. Capitalização simples com taxa anual.
B. Capitalização composta com taxa anual.
C. Capitalização simples com taxa mensal equivalente.
D. Capitalização composta com taxa mensal equivalente.

Passo 1

Temos uma taxa anual \,i. Queremos ver, para cada mês m=1,2,\dots,12, qual das quatro formas de capitalização dá o maior fator de acumulação até o mês m. As quatro modalidades são:
– capitalização simples usando a taxa anual nominal;
– capitalização composta usando a taxa anual;
– capitalização simples usando a taxa mensal equivalente;
– capitalização composta usando a taxa mensal equivalente.

Passo 2

Definimos a taxa mensal equivalente \,j pela condição
(1+j)^{12}=1+i \quad\Longrightarrow\quad j=(1+i)^{1/12}-1.

Passo 3

Para cada mês m, os fatores de acumulação são:
– simples com taxa anual nominal:
K_A(m)=1+\frac{i}{12}\,m.
– composto com taxa anual (fracionada uniformemente):
K_B(m)=(1+i)^{m/12}.
– simples com taxa mensal equivalente:
K_C(m)=1 + j\,m.
– composto com taxa mensal equivalente:
K_D(m)=(1+j)^{m}.

Passo 4

Pela desigualdade de Bernoulli, para qualquer j>-1 e inteiro m\ge1 vale
(1+j)^m \ge 1 + m\,j,
ou seja
K_D(m)\ge K_C(m).

Passo 5

Como (1+i)^{1/12}>1+\frac{i}{12} para i>0, segue j>i/12 e portanto
K_C(m)=1+j\,m>1+\frac{i}{12}m=K_A(m).

Passo 6

Observamos ainda que
K_B(m)=(1+i)^{m/12}=(1+j)^{m}=K_D(m),
quando interpretamos a capitalização composta anual de forma fracionada mensalmente. De toda forma, a modalidade que atinge o maior fator de acumulação mês a mês é a capitalização composta com taxa mensal equivalente.

Resposta

D. Capitalização composta com taxa mensal equivalente.

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