Dada a transformação T(x1, x2, x3, x4, x5)=(x1-x3, x2-x4, 2 x5),
Encontre os autovalores e autovetores de T. É possível formar uma base de autovetores para T? Se sim, exiba esta base e determine uma nova base beta a partir desta que seja ortonormal. Caso contrário, justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá
Tcolon R^5toR^3, T(x1,x2,x3,x4,x5) = (,x1 - x3,;x2 - x4,;2x5,)
Para falar em autovalores e autovetores precisamos de um operador linear em um mesmo espaço, isto é, de uma transformação
R^ntoR^n. Aqui o domínio é R^5 e a imagem vive em R^3, espaços de dimensões diferentes.

Passo 2

O conceito de autovalor lambda e autovetor vneq0 exige que
T(v)=lambda,v
como vetores no mesmo espaço. Mas em nosso caso T(v)inR^3 e lambda vinR^5. Não faz sentido igualar dois vetores de espaços distintos.

Passo 3

Como não temos um endomorfismo R^5toR^5, não existem nem autovalores nem autovetores de T. Consequentemente, não se pode formar base de autovetores, tampouco escolher uma base ortonormal desses autovetores.

Resposta

Não há autovalores nem autovetores de T, pois T não é um operador linear de R^n em si mesmo; logo não se pode formar base de autovetores.

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