Dada a transformação
,
Encontre os autovalores e autovetores de
. É possível formar uma base de autovetores para
? Se sim, exiba esta base e determine uma nova base
a partir desta que seja ortonormal. Caso contrário, justifique sua resposta.
Encontre os autovalores e autovetores de
Passo 1
O enunciado dá
Para falar em autovalores e autovetores precisamos de um operador linear em um mesmo espaço, isto é, de uma transformação
. Aqui o domínio é
e a imagem vive em
, espaços de dimensões diferentes.
Passo 2
O conceito de autovalor
e autovetor
exige que
como vetores no mesmo espaço. Mas em nosso caso
e
. Não faz sentido igualar dois vetores de espaços distintos.
Passo 3
Como não temos um endomorfismo
, não existem nem autovalores nem autovetores de
. Consequentemente, não se pode formar base de autovetores, tampouco escolher uma base ortonormal desses autovetores.
Resposta
Não há autovalores nem autovetores de
, pois
não é um operador linear de
em si mesmo; logo não se pode formar base de autovetores.