Questão 1. Considere os pontos A=(1,3,-1), B=(-3,2,1) e os vetores v=(0,1,2), w= (-1,0,3) e u=A B. Determine:
a) (w, v, u) cdot(-3 w times 2 v)(1,75 ponto )
b) |(-3 w times 2 v)| cdot|v| ( 1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos A=(1,3,-1) e B=(-3,2,1) e os vetores
v=(0,1,2),
w=(-1,0,3) e u=AB.
Queremos usar operações vetoriais: soma, produto vetorial, produto escalar e módulo de vetores.

Passo 2

Calcular u=AB=B - A.
u=(-3-1,;2-3,;1-(-1)) = (-4,,-1,;2)

Passo 3

Calcular o produto misto (w,v,u) = wcdot(vtimesu).
Primeiro o vetorial vtimesu:
vtimesu = i&j&k 0&1&2 -4&-1&2 =(1cdot2-2cdot(-1),,-(0cdot2-2cdot(-4)),,0cdot(-1)-1cdot(-4)) =(4,,-8,;4)
Depois o escalar
wcdot(vtimesu) =(-1,0,3)cdot(4,-8,4) =-1cdot4+0cdot(-8)+3cdot4=8

Passo 4

Calcular -3wtimes2v.
Usando bilinearidade do vetorial:
-3wtimes2v = (-3cdot2),(wtimesv) = -6,(wtimesv)
E
wtimesv = i&j&k -1&0&3 0&1&2 =(-3,;2,;-1)
Logo
-3wtimes2v = -6,(-3,2,-1) = (18,,-12,;6)

Passo 5

Agora podemos responder a alínea (a), que é a multiplicação do escalar (w,v,u)=8 pelo vetor -3wtimes2v=(18,-12,6):
8cdot(18,-12,6) = (144,,-96,;48)

Passo 6

Para a alínea (b) precisamos dos módulos de -3wtimes2v e de v.
l|(-3wtimes2v)r| =raiz18^2+(-12)^2+6^2 =raiz324+144+36 =raiz504 =6raiz14,
|v|=raiz0^2+1^2+2^2=raiz5
Portanto
l|(-3wtimes2v)r|;cdot;|v| =6raiz14;times;raiz5 =6raiz70

Resposta

(a) (144,,-96,;48)
(b) 6raiz70

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