Verifique se as seguintes transformações são lineares.
T(x, y, z)=(x-y, x+z, z+y)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x - y, x + z, z + y) . O objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação T é linear se, para todos os vetores u, v e todo escalar c , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade: T(cu) = cT(u)
Então, para verificar se T é linear, precisamos checar essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Seja u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) . Então:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Aplicando T em u + v :
T(u + v) = ((x1 + x2) - (y1 + y2), (x1 + x2) + (z1 + z2), (z1 + z2) + (y1 + y2))
Simplificando:
T(u + v) = (x1 - y1 + x2 - y2, x1 + z1 + x2 + z2, z1 + y1 + z2 + y2)
Por outro lado, vamos calcular T(u) + T(v) :
T(u) = (x1 - y1, x1 + z1, z1 + y1)
T(v) = (x2 - y2, x2 + z2, z2 + y2)
T(u) + T(v) = ((x1 - y1) + (x2 - y2), (x1 + z1) + (x2 + z2), (z1 + y1) + (z2 + y2))
T(u) + T(v) = (x1 - y1 + x2 - y2, x1 + x2 + z1 + z2, z1 + z2 + y1 + y2)
Comparando com T(u + v) , vemos que são iguais. Portanto, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja c um escalar e u = (x, y, z) . Então:
cu = (cx, cy, cz)
Aplicando T em cu :
T(cu) = (cx - cy, cx + cz, cz + cy)
Por outro lado, calculando cT(u) :
T(u) = (x - y, x + z, z + y)
cT(u) = (c(x - y), c(x + z), c(z + y)) = (cx - cy, cx + cz, cz + cy)
Vendo que T(cu) = cT(u) , a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de linearidade foram verificadas e satisfeitas, concluímos que a transformação T(x, y, z) = (x - y, x + z, z + y) é linear.

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