Verifique se as seguintes transformações são lineares.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação
definida por
. O objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação
é linear se, para todos os vetores
e todo escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade:
Então, para verificar se
é linear, precisamos checar essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Seja
e
. Então:
Aplicando
em
:
Simplificando:
Por outro lado, vamos calcular
:
Comparando com
, vemos que são iguais. Portanto, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Então:
Aplicando
em
:
Por outro lado, calculando
:
Vendo que
, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de linearidade foram verificadas e satisfeitas, concluímos que a transformação
é linear.