Dada a transformação ,
Encontre a matriz da transformação em relação ás bases canônicas do .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente tem uma transformação que pega vetores de e transforma em vetores de , usando a regra . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases canônicas de . Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear sobre matrizes de transformações lineares e bases canônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as bases canônicas. Em , a base canônica é o conjunto de vetores com 1 em uma posição e 0 nas outras, ou seja:
Esses vetores formam a base padrão de .
Passo 3
Agora, para encontrar a matriz da transformação , a gente precisa ver como age em cada um desses vetores da base canônica. Ou seja, vamos calcular , , , e .
Passo 4
Vamos calcular . Substituindo na regra da transformação:
Então, .
Passo 5
Agora, vamos calcular :
Então, .
Passo 6
Vamos para :
Então, .
Passo 7
Em seguida, calculamos :
Então, .
Passo 8
Finalmente, :
Então, .
Passo 9
Agora que sabemos como age em cada vetor da base canônica, podemos montar a matriz da transformação. Cada coluna da matriz será o vetor resultante de aplicado a cada vetor da base canônica.
Passo 10
Vamos organizar os resultados:
Esses vetores serão as colunas da matriz A da transformação.