Dada a transformação T(x1, x2, x3, x4, x5)=(x1-x3, x2-x4, 2 x5),
Encontre a matriz da transformação em relação ás bases canônicas do R^5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente tem uma transformação T que pega vetores de R^5 e transforma em vetores de R^3, usando a regra T(x1, x2, x3, x4, x5) = (x1-x3, x2-x4, 2x5) . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases canônicas de R^5. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear sobre matrizes de transformações lineares e bases canônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as bases canônicas. Em R^5, a base canônica é o conjunto de vetores com 1 em uma posição e 0 nas outras, ou seja:
e1 = (1,0,0,0,0), e2 = (0,1,0,0,0), e3 = (0,0,1,0,0), e4 = (0,0,0,1,0), e5 = (0,0,0,0,1)
Esses vetores formam a base padrão de R^5.

Passo 3

Agora, para encontrar a matriz da transformação T , a gente precisa ver como T age em cada um desses vetores da base canônica. Ou seja, vamos calcular T(e1) , T(e2) , T(e3) , T(e4) e T(e5) .

Passo 4

Vamos calcular T(e1) . Substituindo na regra da transformação:
T(1,0,0,0,0) = (1 - 0, 0 - 0, 2 times 0) = (1, 0, 0)
Então, T(e1) = (1, 0, 0) .

Passo 5

Agora, vamos calcular T(e2) :
T(0,1,0,0,0) = (0 - 0, 1 - 0, 2 times 0) = (0, 1, 0)
Então, T(e2) = (0, 1, 0) .

Passo 6

Vamos para T(e3) :
T(0,0,1,0,0) = (0 - 1, 0 - 0, 2 times 0) = (-1, 0, 0)
Então, T(e3) = (-1, 0, 0) .

Passo 7

Em seguida, calculamos T(e4) :
T(0,0,0,1,0) = (0 - 0, 0 - 1, 2 times 0) = (0, -1, 0)
Então, T(e4) = (0, -1, 0) .

Passo 8

Finalmente, T(e5) :
T(0,0,0,0,1) = (0 - 0, 0 - 0, 2 times 1) = (0, 0, 2)
Então, T(e5) = (0, 0, 2) .

Passo 9

Agora que sabemos como T age em cada vetor da base canônica, podemos montar a matriz da transformação. Cada coluna da matriz será o vetor resultante de T aplicado a cada vetor da base canônica.

Passo 10

Vamos organizar os resultados:
T(e1) = 1 0 0 , T(e2) = 0 1 0 , T(e3) = -1 0 0 , T(e4) = 0 -1 0 , T(e5) = 0 0 2
Esses vetores serão as colunas da matriz A da transformação.

Passo 11

Montando a matriz A , temos:
A = 1 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2
Essa é a matriz da transformação T em relação às bases canônicas de R^5.

Resposta

A matriz da transformação T em relação às bases canônicas de R^5 é:
A = 1 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2

Exercícios relacionados