Questão 2. Em cada item a seguir, dê uma equação geral para um plano pi nas condições mencionadas.
pi passa pelo ponto C=(1,1,1) e é paralelo ao plano
pi1:(x, y, z)=(0,0,1)+alpha(1,-1,0)+beta(1,1,1), alpha, beta in R

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de um plano pi que passa por C=(1,1,1) e é paralelo ao plano
pi1:,(x,y,z)=(0,0,1)+alpha(1,-1,0)+beta(1,1,1)
Conteúdo: geometria analítica de planos em R^3, em que vamos extrair o vetor normal de pi1 e depois usar a forma nx(x-x0)+ny(y-y0)+nz(z-z0)=0.

Passo 2

Primeiro identificamos dois vetores diretores de pi1:
vec v1=(1,-1,0) e vec v2=(1,1,1). Como pi é paralelo a pi1, seu vetor normal vec n é perpendicular a vec v1 e a vec v2. Vamos calculá-lo com o produto vetorial.

Passo 3

n = v1 times v2 = det i & j & k [6pt] 1 & -1 & 0 [3pt] 1 & 1 & 1 = (-1,-1,2) ]

Passo 4

A equação geral de pi com normal vec n=(a,b,c)=(-1,-1,2) e passando por (x0,y0,z0)=(1,1,1) é
-1,(x-1);+;-1,(y-1);+;2,(z-1)=0
Expandindo:
-,x+1;-;y+1;+;2z-2=0 Longrightarrow -,x-y+2z=0
Multiplicando por -1 (para ficar na forma mais usual) dá
x+y-2z=0

Resposta

pi: x+y-2z=0

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