Determine a imagem da transformação linear T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(2 x-y-2 z, x+y-z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a imagem da transformação linear T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z) = (2x - y - 2z,, x + y - z) . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformações lineares, imagem de uma transformação e combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de T é o conjunto de todos os vetores que você consegue obter aplicando T a qualquer vetor em R^3 . Ou seja, queremos saber quais vetores em R^2 podem ser escritos como T(x, y, z) para alguns x, y, z .

Passo 3

Vamos reescrever a transformação T de forma matricial para facilitar a análise:
T(x, y, z) = 2 & -1 & -2 1 & 1 & -1 x y z
Aqui, a matriz das colunas representa como cada componente x, y, z contribui para os resultados em R^2 .

Passo 4

A imagem de T é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas dessa matriz. Ou seja, queremos ver quais vetores em R^2 podem ser formados combinando os vetores coluna:
2 1 , -1 1 , -2 -1

Passo 5

Agora, vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes. Se pelo menos duas delas forem independentes, a imagem será todo R^2 . Para isso, calculamos o determinante formado pelas duas primeiras colunas:
det = (2)(1) - (-1)(1) = 2 + 1 = 3 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, as duas primeiras colunas são linearmente independentes.

Passo 6

Como temos duas colunas linearmente independentes em R^2 , isso significa que qualquer vetor em R^2 pode ser formado como uma combinação linear dessas colunas. Portanto, a imagem de T é todo o espaço R^2 .

Resposta

A imagem da transformação T é todo o espaço R^2 .

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