Determine a imagem da transformação linear dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a imagem da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformações lineares, imagem de uma transformação e combinação linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de é o conjunto de todos os vetores que você consegue obter aplicando a qualquer vetor em . Ou seja, queremos saber quais vetores em podem ser escritos como para alguns .
Passo 3
Vamos reescrever a transformação de forma matricial para facilitar a análise:
Aqui, a matriz das colunas representa como cada componente x, y, z contribui para os resultados em R^2 .
Passo 4
A imagem de T é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas dessa matriz. Ou seja, queremos ver quais vetores em R^2 podem ser formados combinando os vetores coluna:
2 1 , -1 1 , -2 -1
Passo 5
Agora, vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes. Se pelo menos duas delas forem independentes, a imagem será todo R^2 . Para isso, calculamos o determinante formado pelas duas primeiras colunas:
det = (2)(1) - (-1)(1) = 2 + 1 = 3 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, as duas primeiras colunas são linearmente independentes.
Passo 6
Como temos duas colunas linearmente independentes em R^2 , isso significa que qualquer vetor em R^2 pode ser formado como uma combinação linear dessas colunas. Portanto, a imagem de T é todo o espaço R^2 .