Questão 2. Em cada item a seguir, dê uma equação geral para um plano pi nas condições mencionadas.
pi contem a reta r:(x, y, z)=(1,0,1)+t(2,1,-1), t in R, e o ponto C=(1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a equação geral de um plano pi que contém uma reta r dada por (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, 1, -1) e também passa pelo ponto C = (1, 1, 1). Para isso, vamos precisar entender como determinar a equação de um plano que contém uma reta e um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
Ax + By + Cz + D = 0
onde (A, B, C) são os coeficientes que definem a orientação do plano.

Passo 3

Como o plano pi contém a reta r, todo ponto da reta satisfaz a equação do plano. A reta r é dada por (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(2, 1, -1), onde (2, 1, -1) é o vetor diretor da reta. Então, esse vetor também está no plano pi.

Passo 4

Além disso, o ponto C = (1, 1, 1) está no plano pi. Isso significa que substituindo x = 1, y = 1 e z = 1 na equação do plano, a equação será satisfeita.

Passo 5

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Sabemos que o vetor diretor da reta r, que é (2, 1, -1), está no plano. Também temos o ponto C = (1, 1, 1) no plano. Podemos usar esses dados para encontrar outro vetor no plano e, em seguida, calcular o vetor normal usando o produto vetorial.

Passo 6

Primeiro, identificamos dois pontos na reta r. Por exemplo, quando t = 0, temos o ponto P = (1, 0, 1) e quando t = 1, temos o ponto Q = (3, 1, 0). Agora, temos dois vetores no plano pi: o vetor diretor da reta r, que é u = (2, 1, -1), e o vetor que vai de P a C, que é v = C - P = (1-1, 1-0, 1-1) = (0, 1, 0).

Passo 7

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano pi, calculamos o produto vetorial de u e v:
n = u times v = i & j & k 2 & 1 & -1 0 & 1 & 0 = i(1 cdot 0 - (-1) cdot 1) - j(2 cdot 0 - (-1) cdot 0) + k(2 cdot 1 - 1 cdot 0)
= i(0 + 1) - j(0 - 0) + k(2 - 0) = i + 0j + 2k = (1, 0, 2)

Passo 8

Com o vetor normal n = (1, 0, 2) e sabendo que o ponto C = (1, 1, 1) está no plano, podemos usar a equação do plano:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Substituindo A = 1, B = 0, C = 2 e (x0, y0, z0) = (1, 1, 1):
1(x - 1) + 0(y - 1) + 2(z - 1) = 0
Simplificando:
x - 1 + 0 + 2z - 2 = 0 x + 2z - 3 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é:
x + 2z - 3 = 0

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