Questão 2. Em cada item a seguir, dê uma equação geral para um plano nas condições mencionadas. contem a reta , e o ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a equação geral de um plano que contém uma reta dada por e também passa pelo ponto . Para isso, vamos precisar entender como determinar a equação de um plano que contém uma reta e um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
onde são os coeficientes que definem a orientação do plano.
Passo 3
Como o plano contém a reta , todo ponto da reta satisfaz a equação do plano. A reta é dada por , onde é o vetor diretor da reta. Então, esse vetor também está no plano .
Passo 4
Além disso, o ponto está no plano . Isso significa que substituindo , e na equação do plano, a equação será satisfeita.
Passo 5
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Sabemos que o vetor diretor da reta , que é , está no plano. Também temos o ponto no plano. Podemos usar esses dados para encontrar outro vetor no plano e, em seguida, calcular o vetor normal usando o produto vetorial.
Passo 6
Primeiro, identificamos dois pontos na reta . Por exemplo, quando , temos o ponto e quando , temos o ponto . Agora, temos dois vetores no plano : o vetor diretor da reta , que é , e o vetor que vai de a , que é .
Passo 7
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano , calculamos o produto vetorial de e :