Dada a transformação linear T(x, y)=(2 x-y, y+3 x,-x), calcule a dimensão da imagem. (Mostre um conjunto de vetores geradores e linearmente independentes)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^2 to R^3 definida por
T(x,y) = (2x - y,;y + 3x,;-x)
Queremos calcular a dimensão da imagem de T, isto é, o posto (rank) de T. Para isso, vamos usar o fato de que a imagem de T é gerada pelas colunas da matriz de T na base canônica, equivalentes a T(1,0) e T(0,1), e depois verificar se esses vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Calculemos as imagens dos vetores da base canônica de R^2:
T(1,0) = (2cdot1 - 0,;0 + 3cdot1,;-1) = (2,3,-1),
T(0,1) = (2cdot0 -1,;1 + 3cdot0,;-0) = (-1,1,0)

Passo 3

Da teoria de transformações lineares, sabemos que
Portanto, esses dois vetores geram a imagem de .

Passo 4

Agora mostramos que eles são linearmente independentes. Considere
alpha,(2,3,-1) + beta,(-1,1,0) = (0,0,0)
Isso dá o sistema
2alpha - beta = 0, 3alpha + beta = 0, -alpha = 0
Da terceira equação vem alpha=0. Substituindo em 2alpha-beta=0 obtemos beta=0. Logo, alpha=beta=0 é a única solução, o que prova a independência.

Passo 5

Como temos dois vetores geradores e eles são independentes, a dimensão da imagem de T é
dim(Im(T)) = 2

Resposta

A dimensão da imagem de T é 2, por exemplo com o conjunto gerador e independent
(2,3,-1),;(-1,1,0).

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