Dada a transformação linear , calcule a dimensão da imagem. (Mostre um conjunto de vetores geradores e linearmente independentes)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear definida por
Queremos calcular a dimensão da imagem de , isto é, o posto (rank) de . Para isso, vamos usar o fato de que a imagem de é gerada pelas colunas da matriz de na base canônica, equivalentes a e , e depois verificar se esses vetores são linearmente independentes.
Passo 2
Calculemos as imagens dos vetores da base canônica de :
Passo 3
Da teoria de transformações lineares, sabemos que
Portanto, esses dois vetores geram a imagem de .
Passo 4
Agora mostramos que eles são linearmente independentes. Considere
Isso dá o sistema
Da terceira equação vem alpha=0. Substituindo em 2alpha-beta=0 obtemos beta=0. Logo, alpha=beta=0 é a única solução, o que prova a independência.
Passo 5
Como temos dois vetores geradores e eles são independentes, a dimensão da imagem de T é
dim(Im(T)) = 2
Resposta
A dimensão da imagem de T é 2, por exemplo com o conjunto gerador e independent (2,3,-1),;(-1,1,0).