Seja T: R^2 R^3 a transformação linear tal que:
T(2,1)=(3,0,2) e T(1,2)=(1,1,0)
Calcule o núcleo dessa transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear Tcolon R^2toR^3 com
T(2,1)=(3,0,2), T(1,2)=(1,1,0)
Queremos encontrar
ker(T)=(x,y)inR^2mid T(x,y)=(0,0,0)
Como (2,1) e (1,2) formam base de R^2, vamos primeiro achar T(e1) e T(e2).

Passo 2

Seja T(e1)=a e T(e2)=b. Então
2a+b=T(2,1)=(3,0,2), a+2b=T(1,2)=(1,1,0)
Resolvendo coordenada a coordenada, obtemos
a=T(e1)=l(tfrac53,,-tfrac13,tfrac43r), b=T(e2)=l(-tfrac13,tfrac23,,-tfrac23r)

Passo 3

Um vetor (x,y) está em ker(T) se e só se
x,T(e1)+y,T(e2)=x,a+y,b=(0,0,0)
Isto equivale a
xl(tfrac53,-tfrac13,tfrac43r)+yl(-tfrac13,tfrac23,-tfrac23r)=(0,0,0)
Multiplicando tudo por 3 e separando as coordenadas, vem o sistema
5x - y = 0, -x + 2y = 0, 4x - 2y = 0
As três equações só admitem x=0 e y=0.

Resposta

ker(T)=(0,0).

Exercícios relacionados