Sejam
e
dois números inteiros, com
. Mostre que:
é 1 ou 2.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois inteiros
tais que
, o máximo divisor comum entre
e
só pode ser
ou
. O conteúdo usado será propriedades de divisibilidade e de gcd, em particular que divisor comum divide soma e diferença dos números.
Passo 2
Definimos
. Por definição,
divide
e também divide
.
Passo 3
Como
divide
e
, ele divide a soma e a diferença desses dois valores:
Logo
e
.
Passo 4
Temos
. Assim, qualquer divisor de
e de
simultaneamente só pode ser
. Mas aqui
pode ainda ter fatores comuns com
. De
e
segue que todos os fatores primos de
estão em
. Portanto
divide
.
Passo 5
Como
é um máximo divisor comum, tomamos
. As únicas divisões positivas de
são
e
. Concluímos