Sejam a e b dois números inteiros, com (a, b)=1. Mostre que:
(b+a, b-a) é 1 ou 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois inteiros a,b tais que gcd(a,b)=1, o máximo divisor comum entre b+a e b-a só pode ser 1 ou 2. O conteúdo usado será propriedades de divisibilidade e de gcd, em particular que divisor comum divide soma e diferença dos números.

Passo 2

Definimos d = gcd(b+a,,b-a). Por definição, d divide b+a e também divide b-a.

Passo 3

Como d divide b+a e b-a, ele divide a soma e a diferença desses dois valores:
(b+a)+(b-a)=2b,
(b+a)-(b-a)=2a
Logo dmid 2b e dmid 2a.

Passo 4

Temos gcd(a,b)=1. Assim, qualquer divisor de a e de b simultaneamente só pode ser pm1. Mas aqui d pode ainda ter fatores comuns com 2. De dmid2a e dmid2b segue que todos os fatores primos de d estão em 2. Portanto d divide 2.

Passo 5

Como d é um máximo divisor comum, tomamos d>0. As únicas divisões positivas de 2 são 1 e 2. Concluímos
gcd(b+a,,b-a)=din1,2

Resposta

gcd(b+a,,b-a) é 1 ou 2.

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