Verifique se o operador linear
T(x, y, z)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z)
é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (3x - 4z,;3y +5z,;-z)
e pergunta se ele é diagonalizável. Para isso, vamos representá-lo pela matriz na base canônica e usar o conceito de autovalores e autovetores: é diagonalizável se e somente se existir uma base de R^3 formada por autovetores, ou seja, se a soma das dimensões dos autoespaços for igual a 3.

Passo 2

Escrevendo a matriz de T na base canônica e1,e2,e3, temos
A = [T] = 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1

Passo 3

O polinômio característico é
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = (3-lambda)(3-lambda)(-1-lambda) = (3-lambda)^2(-1-lambda)

Passo 4

Dos fatores de chiA(lambda) obtemos os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
lambda1 = 3, mu< alg=2; lambda2 = -1, mu< alg=1

Passo 5

Para lambda=3 resolvemos (A-3I)v=0.
A-3I = 0 & 0 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4 ;Longrightarrow; -4z=0,;5z=0;Rightarrow;z=0,;x,y livres
Logo o autoespaço de lambda=3 tem dimensão geométrica 2.

Passo 6

Para lambda=-1 resolvemos (A+I)v=0.
A+I = 4 & 0 & -4 0 & 4 & 5 0 & 0 & 0 ;Longrightarrow; 4x-4z=0,;4y+5z=0 ;Rightarrow; x=z,;y=-tfrac54z,
de modo que o autoespaço de lambda=-1 é unidimensional.

Passo 7

Como a soma das dimensões geométricas é
2;(para lambda=3);+;1;(para lambda=-1);=;3,
existe uma base de R^3 formada por autovetores. Portanto A é diagonalizável.

Resposta

Sim, o operador T é diagonalizável.

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