Mostre que se T: U V for uma transformação linear injetora, então dim U <= dim V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se a transformação linear T: U V é injetora, então a dimensão de U é menor ou igual à dimensão de V . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear, injetividade e dimensões dos espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e como isso se relaciona com as dimensões dos espaços envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação T é injetora se, sempre que T(u1) = T(u2) , então u1 = u2 . Em outras palavras, T não “colapsa” diferentes vetores de U em um mesmo vetor de V .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o núcleo e a imagem de T . O núcleo de T , denotado por ker(T) , é o conjunto de todos os vetores em U que são enviados para o vetor zero em V :
ker(T) = u in U mid T(u) = 0
A imagem de T , denotada por Im(T) , é o conjunto de todos os vetores em V que são alcançados por T :
Im(T) = T(u) mid u in U

Passo 4

Como T é injetora, o núcleo de T contém apenas o vetor zero:
ker(T) = 0
Isso significa que a dimensão do núcleo é zero:
dim(ker(T)) = 0

Passo 5

Vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão), que diz:
dim(U) = dim(ker(T)) + dim(Im(T))
Substituindo o que sabemos:
dim(U) = 0 + dim(Im(T)) Rightarrow dim(U) = dim(Im(T))
Como a imagem de T é um subespaço de V , a dimensão da imagem não pode ser maior que a dimensão de V :
dim(Im(T)) <= dim(V)
Portanto:
dim(U) <= dim(V)

Resposta

Concluímos que se T: U V é uma transformação linear injetora, então dim(U) <= dim(V) .

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