Mostre que se
for uma transformação linear injetora, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se a transformação linear
é injetora, então a dimensão de
é menor ou igual à dimensão de
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformação linear, injetividade e dimensões dos espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser injetora e como isso se relaciona com as dimensões dos espaços envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear injetora. Uma transformação
é injetora se, sempre que
, então
. Em outras palavras,
não “colapsa” diferentes vetores de
em um mesmo vetor de
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o núcleo e a imagem de
. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores em
que são enviados para o vetor zero em
:
A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores em
que são alcançados por
:
Passo 4
Como
é injetora, o núcleo de
contém apenas o vetor zero:
Isso significa que a dimensão do núcleo é zero:
Passo 5
Vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão), que diz:
Substituindo o que sabemos:
Como a imagem de
é um subespaço de
, a dimensão da imagem não pode ser maior que a dimensão de
:
Portanto:
Resposta
Concluímos que se
é uma transformação linear injetora, então
.