Sejam V um espaço vetorial sobre R de dimensão finita e T: V V uma transformação linear. Suponhamos que exista S: V V tal que T circ S=I dV em que I dV: V V é a identidade em V. Prove que T é invertível com S=T^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre espaço vetorial e transformações lineares. Temos um espaço com dimensão finita e uma transformação linear . Além disso, existe outra transformação tal que, quando a gente compõe com , o resultado é a identidade no espaço (ou seja, ). Nosso objetivo é provar que é invertível e que é exatamente o inverso de , .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear ser invertível. Uma transformação é invertível se existe outra transformação tal que:
Isso quer dizer que, ao aplicar seguida de (ou vice-versa), a gente volta exatamente ao ponto de partida, sem alterar nada no espaço .

Passo 3

No enunciado, foi dado que existe uma transformação tal que:
Isso mostra que atua como um inverso à esquerda de , porque quando compomos com , obtemos a identidade. Mas para ser totalmente invertível, precisamos que também valha:
Então, nosso desafio é mostrar que, de fato, também funciona como o inverso à direita de .

Passo 4

Como é um espaço vetorial de dimensão finita e é uma transformação linear de para , podemos usar um resultado importante da álgebra linear: em espaços vetoriais de dimensão finita, se uma transformação linear tem um inverso à esquerda, então ela também tem um inverso à direita, e esse inverso é único.
Isso significa que, se , então necessariamente também vale. Portanto, é o inverso de , ou seja, .

Passo 5

Com isso, concluímos que T não só tem um inverso à esquerda S , mas também um inverso à direita, confirmando que T é invertível. Além disso, identificamos que S é esse inverso, então:
S = T^-1

Resposta

Portanto, T é invertível e o inverso de T é S , isto é, S = T^-1 .

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