Sejam
um espaço vetorial sobre
de dimensão finita e
uma transformação linear. Suponhamos que exista
tal que
em que
é a identidade em
. Prove que
é invertível com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre espaço vetorial e transformações lineares. Temos um espaço
com dimensão finita e uma transformação linear
. Além disso, existe outra transformação
tal que, quando a gente compõe
com
, o resultado é a identidade no espaço
(ou seja, ). Nosso objetivo é provar que
é invertível e que
é exatamente o inverso de
,
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear ser invertível. Uma transformação
é invertível se existe outra transformação
tal que:
Isso quer dizer que, ao aplicar
seguida de
(ou vice-versa), a gente volta exatamente ao ponto de partida, sem alterar nada no espaço
.
Passo 3
No enunciado, foi dado que existe uma transformação
tal que:
Isso mostra que
atua como um inverso à esquerda de
, porque quando compomos
com
, obtemos a identidade. Mas para
ser totalmente invertível, precisamos que também valha:
Então, nosso desafio é mostrar que, de fato,
também funciona como o inverso à direita de
.
Passo 4
Como
é um espaço vetorial de dimensão finita e
é uma transformação linear de
para
, podemos usar um resultado importante da álgebra linear: em espaços vetoriais de dimensão finita, se uma transformação linear tem um inverso à esquerda, então ela também tem um inverso à direita, e esse inverso é único.
Isso significa que, se , então necessariamente também vale. Portanto,
é o inverso de
, ou seja,
.
Passo 5
Com isso, concluímos que
não só tem um inverso à esquerda
, mas também um inverso à direita, confirmando que
é invertível. Além disso, identificamos que
é esse inverso, então:
Resposta
Portanto,
é invertível e o inverso de
é
, isto é,
.