Dada a transformação linear dada por , determine:
O núcleo desta transformação linear e uma base para o núcleo desta transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear T que pega uma matriz 2x2 com números reais e transforma em um vetor em R^3. Nosso objetivo é descobrir qual é o núcleo dessa transformação e encontrar uma base para ele. Para isso, vamos precisar entender o que é núcleo de uma transformação linear e como resolver sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T , denotado por ker(T), é o conjunto de todas as matrizes 2x2 que, ao serem transformadas por T , resultam no vetor zero em R^3. Ou seja:
ker(T) = a & b c & d in M2(R) g| T( a & b c & d ) = 0 0 0
Passo 3
Agora, vamos aplicar a definição de T para encontrar as condições que a, b, c, d devem satisfazer para que T da matriz seja o vetor zero:
T( a & b c & d ) = a + b a - c d = 0 0 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + b = 0 a - c = 0 d = 0
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre a, b, c, d :
Da primeira equação: a + b = 0 Rightarrow b = -a
Da segunda equação: a - c = 0 Rightarrow c = a
Da terceira equação: d = 0
Passo 5
Agora, vamos expressar todas as variáveis em termos de a :
a & b c & d = a & -a a & 0
Aqui, vemos que a única variável livre é a . Isso significa que todas as matrizes no núcleo podem ser escritas como múltiplos de uma matriz base.
Passo 6
Para encontrar uma base para o núcleo, identificamos a matriz que gera todas as possíveis matrizes do núcleo por multiplicação escalar. Nesse caso, quando a = 1 :
1 & -1 1 & 0
Portanto, esta matriz forma uma base para o núcleo de T .
Resposta
O núcleo da transformação linear T é dado por todas as matrizes da forma a & -a a & 0 onde a in R . Uma base para o núcleo é 1 & -1 1 & 0 .