Dada a transformação linear dada por , determine:
A imagem desta transformação linear e uma base para imagem desta transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre uma transformação linear T: M2(R) R^3 definida por:
T( a & b c & d ) = (a + b, , a - c, , d)
Nosso objetivo aqui é descobrir:
A imagem dessa transformação linear: basicamente, quais são todos os possíveis vetores em R^3 que você pode obter aplicando T em uma matriz qualquer de M2(R) .
Uma base para essa imagem: um conjunto de vetores que são suficientes para “gerar” toda a imagem de T , sem redundâncias.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como transformação linear, imagem (ou alcance) e bases de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a imagem de uma transformação linear. A imagem de T , denotada por Im(T) , é o conjunto de todos os vetores em R^3 que você consegue obter aplicando T em todas as matrizes possíveis de M2(R) .
Como T pega uma matriz a & b c & d e a transforma em um vetor (a + b, , a - c, , d) , precisamos ver quais combinações de a, b, c, d resultam nos vetores em R^3 .
Passo 3
Vamos expressar isso de maneira mais formal. Seja v = (x, y, z) in R^3 . Queremos encontrar todas as matrizes a & b c & d tais que:
T( a & b c & d ) = (a + b, , a - c, , d) = (x, y, z)
Isso nos dá o sistema de equações:
a + b = x a - c = y d = z
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema para a, b, c, d :
Da terceira equação: d = z .
Da primeira equação: b = x - a .
Da segunda equação: c = a - y .
Isso significa que, para qualquer x, y, z em R , podemos escolher a livremente e determinar b, c, d em termos de a, x, y, z .
Passo 5
Vamos escolher [a) como um parâmetro livre, digamos , onde é um número real. Então:
Substituindo de volta na matriz original:
Isso mostra como .
Passo 6
Agora, para encontrar a imagem de T , observamos que para qualquer (x, y, z) em R^3 , existe uma matriz em M2(R) que mapeia para esse vetor. Isso significa que a imagem de T é todo o espaço R^3 .
Passo 7
Mas espera, será que a imagem é realmente todo [\mathbb{R}^{3})? Vamos verificar as condições que temos:
Não há restrições adicionais sobre de tal forma que essas equações sejam satisfeitas para quaisquer valores de . Portanto, a imagem de é realmente .
Passo 8
Agora, para encontrar uma base para a imagem de T , precisamos identificar vetores que geram R^3 e são linearmente independentes. Uma base padrão para R^3 é:
, 1 0 0, 0 1 0, 0 0 1 ,
Esses vetores são suficientes para “construir” qualquer vetor em R^3 através de combinações lineares e não são redundantes.
Resposta
A imagem da transformação linear T é todo o espaço R^3 , e uma base para essa imagem é formada pelos vetores: