Dada a transformação linear T: P2(R) R^4 dada por T(a t^2+b t+c)=(a-b, 0, c-b, 0), determine:
A imagem desta transformação linear e uma base para imagem desta transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T: P2(R) to R^4,
definida por
Tl(a t^2 + b t + cr) = (,a - b,;0,;c - b,;0)
O objetivo é encontrar Im(T) e uma base de Im(T).

Passo 2

Para entender Im(T), note que qualquer polinômio p(t)=a t^2+b t+c é enviado em
T(p) = (,a - b,;0,;c - b,;0)
Sejam então
x = a - b, z = c - b
Como a,b,c são livres em R, x e z variam livremente em R. Logo
Im(T) =(x,0,z,0)mid x,zinR

Passo 3

O subespaço (x,0,z,0) pode ser visto como combinação linear de
(1,0,0,0) e (0,0,1,0)
De fato,
(x,0,z,0) = x,(1,0,0,0) ;+; z,(0,0,1,0)

Passo 4

Portanto
Im(T) = (x,0,z,0)mid x,zinR
e uma base natural é
(1,0,0,0),;(0,0,1,0)

Resposta

A imagem é
Im(T) = (x,0,z,0)mid x,zinR,
e uma base de Im(T) é
(1,0,0,0),;(0,0,1,0)

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