Dada a transformação linear T: P2(R) R^4 dada por T(a t^2+b t+c)=(a-b, 0, c-b, 0), determine:
O núcleo desta transformação linear e uma base para o núcleo desta transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon P2(R)toR^4
por
Tl(a t^2 + b t + cr) = (,a - b,;0,;c - b,;0,)
Queremos encontrar
ker T = ,pin P2(R) mid T(p)=0.

Passo 2

Para p(t)=a t^2 + b t + c, a condição T(p)=0 dá o sistema
a - b = 0, c - b = 0,
pois as outras duas coordenadas já são zero sempre. Logo
a = b, c = b

Passo 3

Assim, todo polinômio em ker T é da forma
p(t) ;=; b,t^2 + b,t + b ;=; b,(t^2 + t + 1), binR
Isso mostra que
ker T = ,b,(t^2+t+1)mid binR
e que o espaço nulo é de dimensão 1.

Resposta

ker T = ,a,(t^2+t+1)mid ainR
Uma base de ker T é ,t^2 + t + 1.

Exercícios relacionados