Dada a transformação linear T: P2(R) R^4 dada por T(a t^2+b t+c)=(4 a+2 b, 0,3 c, 2 a+b), determine:
A imagem desta transformação linear e uma base para imagem desta transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon P2(R)toR^4, Tl(a t^2+b t+cr)=(4a+2b,,0,,3c,,2a+b)
Queremos encontrar Im(T) e uma base de Im(T). Para isso usamos que a imagem de T é o subespaço de R^4 gerado pelas imagens dos vetores de uma base de P2(R).

Passo 2

Escolhemos a base canônica de P2(R), ,t^2,;t,;1, e calculamos
T(t^2)=T(1cdot t^2+0cdot t+0)=(4,0,0,2),
T(t)=T(0cdot t^2+1cdot t+0)=(2,0,0,1),
T(1)=T(0cdot t^2+0cdot t+1)=(0,0,3,0)

Passo 3

Portanto
Im(T)=spanl(4,0,0,2),,(2,0,0,1),,(0,0,3,0)r

Passo 4

Observamos que (4,0,0,2)=2,(2,0,0,1), logo há dependência entre os dois primeiros vetores. Já (0,0,3,0) é linearmente independente de (2,0,0,1). Assim podemos descartar (4,0,0,2) e ficar com
Im(T)=spanl(2,0,0,1),,(0,0,3,0)r,
onde os dois vetores são linearmente independentes.

Resposta

A imagem de T é o plano
Im(T)=l(x,0,z,w)inR^4mid x=2w,;zinRr
e uma base de Im(T) é
, (2,0,0,1),;(0,0,3,0)

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