Dada a transformação linear T: M2(R) R^4 dada por
T([ll a & b c & d ])=(a+b, a-c, b-d, a+c+d)
determine:
A imagem desta transformação linear e uma base para imagem desta transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a imagem da transformação linear T e encontrar uma base para essa imagem. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com transformações lineares entre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como T atua nos elementos de M2(R) (matrizes 2x2 com entradas reais) e identificar todos os possíveis vetores em R^4 que podemos obter através dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a transformação T funciona. Dada uma matriz a & b c & d em M2(R) , a transformação T mapeia essa matriz para o vetor (a+b, a-c, b-d, a+c+d) em R^4 . Isso significa que cada matriz 2x2 é convertida em um vetor de quatro componentes, de acordo com essas combinações lineares das entradas da matriz.

Passo 3

Para encontrar a imagem de T , precisamos identificar todos os vetores possíveis (a+b, a-c, b-d, a+c+d) que podemos obter variando a, b, c, d em R . Em outras palavras, queremos descrever o conjunto de todos esses vetores no espaço R^4 .

Passo 4

Vamos expressar as componentes do vetor de forma mais clara:
v1 = a + b v2 = a - c v3 = b - d v4 = a + c + d
Nosso objetivo é expressar esses vi em termos de uma combinação linear das variáveis a, b, c, d , e então identificar as restrições ou dependências entre eles.

Passo 5

Vamos reescrever as equações para entender como v1, v2, v3, v4 estão relacionados:
  1. De v1 = a + b , podemos isolar a = v1 - b .
  2. Substituindo a na segunda equação: v2 = (v1 - b) - c => c = v1 - b - v2 .
  3. Substituindo c na quarta equação: v4 = (v1 - b) + (v1 - b - v2) + d => d = v4 - 2v1 + 2b + v2 .
Agora, todas as variáveis a, c, d estão expressas em termos de b, v1, v2, v4 .

Passo 6

Como podemos ver, b é uma variável livre, ou seja, podemos escolher qualquer valor para b , e os demais valores serão determinados por b e pelos componentes v1, v2, v4 . Isso indica que a imagem de T é um subespaço de R^4 com dimensão menor ou igual a 3.

Passo 7

Para encontrar uma base para a imagem de T , precisamos identificar vetores que gerem o espaço imagem e que sejam linearmente independentes. Observando as expressões das componentes, podemos escolher vetores correspondentes às diferentes variáveis livres.
Vamos considerar os seguintes vetores obtidos ao variar individualmente os parâmetros:
  1. Para a = 1, b = 0, c = 0, d = 0 :
T( 1 & 0 0 & 0 ) = (1+0, 1-0, 0-0, 1+0+0) = (1, 1, 0, 1)
  1. Para a = 0, b = 1, c = 0, d = 0 :
T( 0 & 1 0 & 0 ) = (0+1, 0-0, 1-0, 0+0+0) = (1, 0, 1, 0)
  1. Para a = 0, b = 0, c = 1, d = 0 :
T( 0 & 0 1 & 0 ) = (0+0, 0-1, 0-0, 0+1+0) = (0, -1, 0, 1)
  1. Para a = 0, b = 0, c = 0, d = 1 :
T( 0 & 0 0 & 1 ) = (0+0, 0-0, 0-1, 0+0+1) = (0, 0, -1, 1)

Passo 8

Agora, vamos ver se esses vetores são linearmente independentes. Observamos que o quarto vetor (0, 0, -1, 1) pode ser obtido como uma combinação linear dos primeiros três vetores. Portanto, podemos descartar esse vetor para evitar redundância.
Assim, uma base para a imagem de T é formada pelos três primeiros vetores:
, (1, 1, 0, 1),; (1, 0, 1, 0),; (0, -1, 0, 1) ,

Resposta

A imagem da transformação linear T é o subespaço de R^4 gerado pelos vetores (1,,1,,0,,1) , (1,,0,,1,,0) e (0,,-1,,0,,1) . Portanto, uma base para a imagem de T é:
, (1, 1, 0, 1),; (1, 0, 1, 0),; (0, -1, 0, 1) ,

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