Dada a transformação linear T: M2(R) R^4 dada por
T([ll a & b c & d ])=(a+b, a-c, b-d, a+c+d)
determine:
O núcleo desta transformação linear e uma base para o núcleo desta transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear T que pega matrizes 2x2 com números reais e as transforma em vetores de 4 dimensões. A pergunta quer saber qual é o núcleo dessa transformação, ou seja, quais matrizes 2x2 são mapeadas para o vetor zero. Além disso, precisamos encontrar uma base para esse núcleo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é núcleo de uma transformação linear e como resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T , denotado por Ker(T) , é o conjunto de todas as matrizes a & b c & d em M2(R) que, quando aplicamos T , resultam no vetor zero em R^4 . Ou seja:
T( a & b c & d ) = (a + b, a - c, b - d, a + c + d) = (0, 0, 0, 0)

Passo 3

Agora, vamos traduzir isso em um sistema de equações. Cada componente do vetor resultante deve ser igual a zero:
  1. a + b = 0
  2. a - c = 0
  3. b - d = 0
  4. a + c + d = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. A primeira equação nos dá a = -b . A segunda equação nos dá c = a , e como a = -b , então c = -b . A terceira equação nos dá d = b .

Passo 5

Agora, vamos substituir a = -b , c = -b e d = b na quarta equação:
a + c + d = (-b) + (-b) + b = -b = 0
Isso implica que b = 0 .

Passo 6

Com b = 0 , voltando às nossas equações anteriores:
  • a = -b = 0
  • c = -b = 0
  • d = b = 0
Então, todas as variáveis são zero.

Passo 7

Isso significa que a única matriz que está no núcleo de T é a matriz zero:
0 & 0 0 & 0

Resposta

O núcleo da transformação linear T é apenas a matriz zero, e uma base para o núcleo é 0 & 0 0 & 0 .

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