Verifique se as funções a seguir são transformações lineares:
T: P2(R) R dada por T(a t^2+b t+c)=a+b+c

Passo 1

O enunciado define
T: P2(R) to R
por
Tl(a t^2+b t+cr)=a+b+c
Queremos verificar se T é transformação linear, ou seja, se preserva soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam
p(t)=a t^2+b t+c, q(t)=A t^2+B t+C
Então
p(t)+q(t)=(a+A)t^2+(b+B)t+(c+C)
e
Tl(p+qr) =(a+A)+(b+B)+(c+C) =(a+b+c)+(A+B+C) =T(p)+T(q)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja lambdainR e
p(t)=a t^2+b t+c
Então
lambda,p(t)=(lambda a)t^2+(lambda b)t+(lambda c)
e
Tl(lambda,pr) =lambda a+lambda b+lambda c =lambda,(a+b+c) =lambda,T(p)

Resposta

Sim. A aplicação T satisfaz T(p+q)=T(p)+T(q) e T(lambda p)=lambda,T(p), logo é transformação linear.

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