Verifique se as funções a seguir são transformações lineares:
dada por
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição:
é linear se e somente se, para todos os vetores
e todo escalar
, valerem
-
(aditividade), -
(homogeneidade).
Passo 2
Verificação da aditividade. Tomemos
Então
e aplicando
temos
Por outro lado,
Logo
Passo 3
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Então
e
Portanto
Passo 4
Como
satisfaz a aditividade e a homogeneidade, concluímos que
é uma transformação linear.
Resposta
Sim. A aplicação
é linear.