Verifique se as funções a seguir são transformações lineares:
T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(x, y, 0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^2toR^3, T(x,y) = (x,y,0)
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição: T é linear se e somente se, para todos os vetores u,vinR^2 e todo escalar alphainR, valerem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade),
  2. T(alpha u)=alpha,T(u) (homogeneidade).

Passo 2

Verificação da aditividade. Tomemos
u=(x1,y1), v=(x2,y2)
Então
u+v=(x1+x2,,y1+y2),
e aplicando T temos
T(u+v) = l(x1+x2,,y1+y2,,0r)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (x1,y1,0) + (x2,y2,0) = (x1+x2,,y1+y2,,0)
Logo
T(u+v) = T(u) + T(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja alphainR e u=(x1,y1). Então
alpha,u = (alpha x1,,alpha y1)
e
T(alpha,u) = l(alpha x1,,alpha y1,,0r) = alpha,(x1,y1,0) = alpha,T(u)
Portanto
T(alpha u) = alpha,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz a aditividade e a homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

Sim. A aplicação T(x,y)=(x,y,0) é linear.

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