A transformação T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(x^2+y^2, 0) é uma transformação linear? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação

por
O conteúdo aqui é transformação linear. Para mostrar que não é linear, basta verificar que ela falha em uma das propriedades de linearidade: aditividade
ou homogeneidade

Passo 2

Lembrando a definição, T é linear se, para todo u,vinR^2 e todo escalar lambda, vale simultaneamente
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(lambda v)=lambda,T(v)

Passo 3

Vamos testar a propriedade de homogeneidade com v=(1,0) e lambda=2. Primeiro calculemos
Tl(lambda,vr) = Tl(2cdot(1,0)r) = T(2,0)

Passo 4

Como T(x,y)=l(x^2+y^2,0r), temos
T(2,0)=l(2^2+0^2,,0r)=l(4,0r)
Por outro lado,
lambda,T(v) = 2,T(1,0) = 2cdotl(1^2+0^2,,0r) = 2cdot(1,0) = (2,0)

Passo 5

Observamos que
Tl(2cdot(1,0)r)=(4,0) neq (2,0)=2,T(1,0)
Logo, a homogeneidade falha, e T não é transformação linear.

Resposta

A transformação T não é linear, pois não satisfaz T(lambda v)=lambda,T(v) (por exemplo, T(2,0)=(4,0)neq2,(1,0)).

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