A transformação T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(x-y, x, y) é uma transformação linear? Justifique.

Passo 1

O enunciado apresenta a aplicação Tcolon R^2 to R^3 dada por
T(x,y) = (,x - y,,x,,y,)
e pede para verificar se T é transformação linear.

Passo 2

Uma aplicação Tcolon V to W entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,vin V e escalar alpha, valem
  1. T(u + v) = T(u) + T(v) (aditividade)
  2. T(alpha,u) = alpha,T(u) (homogeneidade)

Passo 3

Verificação da aditividade. Se u = (x1,y1) e v=(x2,y2), então
u+v = (x1+x2,;y1+y2)
e
T(u+v) = l((x1+x2)-(y1+y2),;x1+x2,;y1+y2r)
= l(x1-y1,;x1,;y1r) + l(x2-y2,;x2,;y2r) = T(u) + T(v)

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Para escalar alpha e vetor u=(x,y):
T(alpha,u) = T(alpha x,;alpha y) = l(alpha x - alpha y,;alpha x,;alpha yr) = alpha,l(x - y,;x,;yr) = alpha,T(x,y)

Passo 5

Representação matricial. Note que
ou seja,
Como satisfaz aditividade e homogeneidade e é dada por uma multiplicação matricial, concluímos que é linear.

Resposta

Sim. A transformação T é linear.

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