Dada a transformação linear f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que f(1,0,0)=(2,1), f(0,1,0)=(-1,0) e f(0,0,1)=(1,-2),
a) determinar a matriz canônica de f;
b) calcular f(3,4,5);
c) calcular f(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear \,f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}\,
cuja ação sobre a base canônica \,(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) é
f(1,0,0)=(2,1),\quad f(0,1,0)=(-1,0),\quad f(0,0,1)=(1,-2).
Precisamos (a) montar a matriz canônica A de f, (b) calcular f(3,4,5) e (c) obter a fórmula geral f(x,y,z).

Passo 2

Para achar a matriz canônica A\in\mathbb{R}^{2\times3}, basta colocar as imagens dos vetores da base como colunas:
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para f(3,4,5) calculamos
A\begin{pmatrix}3\\\ 4\\\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot3 + (-1)\cdot4 + 1\cdot5\\[6pt] 1\cdot3 + 0\cdot4 + (-2)\cdot5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 4 + 5\\\\ 3 - 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\\\ -7 \end{pmatrix}.]

Passo 4

No caso geral (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, temos
f(x,y,z) = A \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - y + z\\\ x - 2z \end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix}2 & -1 & 1\\\ 1 & 0 & -2\end{pmatrix}
(b) \,(7,-7)
(c) \,f(x,y,z)=(2x - y + z,\;x - 2z)

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